ДИСПЕРСИОННЫЙ МЕТОД

ДИСПЕРСИОННЫЙ МЕТОД в теории чисел-метод для решения нек-рых бинарных уравнений (бинарных аддитивных проблем) вида

α + β = n, (1)

где α и β принадлежат к достатоино густым и хорошо распределенным в арифметич. прогрессиях последовательностям натуральных чисел.

Д. м., разработанный Ю. В. Линником в 1958-61 и поэтому называемый также дисперсионным методом Линника, соединяет в себе элементарные теоретико-вероятностные понятия (в частности, понятие дисперсии и неравенства типа Чебышева) с аналитич. и алгебраич. идеями И. М. Виноградова и А. Вейля (A. Weil). Сущность Д. м. состоит в следующем (см. также Аддитивная теория чисел).

Уравнение (1) сводится к уравнениям вида

νD' + β = n; (2)

здесь ν, D' независимо пробегают нек-рые значения из прямоугольной области ν ∈ (ν), D' ∈ (D), где (ν) и (D) -некоторые интервалы; при этом числа ν - простые, а на D' могут быть наложены различные дополнительные условия. Пусть через F обозначено число решений этого уравнения.

Пусть теперь имеется уравнение

νD + β = n

при произвольном D ∈ (D), и через А(n, D) обозначено число его решений, найденных из каких-либо эвристических соображений. Тогда (гипотетически) число ожидаемых решений уравнения (2) записывается в виде

S = ∑_D'∈(D) А(n, D').

Оценка разности F - S = V имеет вид

V = ∑_D'∈(D) (∑_νD'+β=n 1 - A(n, D')). (3)

Применение неравенства Коши приводит к неравенству

V² ≤ D₀V' (4)

где D₀ - длина интервала (D), а

V' ∑_D'∈(D) (∑_νD'+β=n 1 - A(n, D'))². (5)

есть дисперсия числа решений уравнения (2).

Если распространить суммирование в (5) на все D ∈ (D), то будут сняты все дополнительные условия, наложенные на D' в (2). В то же время величина дисперсии может только возрасти. Поэтому

V' ≤ ∑_D∈(D) (∑_νD+β=n 1 - A(n, D'))² = Σ₁ - 2Σ₂ + Σ₃.

Суммы Σ₁, Σ₂ и Σ₃ в нек-рых случаях удается вычислить асимптотииески. Главную трудность представляет вычисление Σ₁ - основной суммы Д. м. Асимптотич. расчет суммы Σ₁ осуществляется при помощи Виноградова метода по подсчету для нек-рых функций количества их дробных частей, попадающих в заданный сегмент, а также с использованием новейших оценок тригонометрич. сумм, полученных средствами алгебраич. геометрии. Асимптотика для сумм Σ₂ и Σ₃ находится путем элементарного суммирования. Если, в результате, дисперсия оказывается не слишком большой, то из (3) и (4) получается асимптотика для числа решений уравнения (2).

Объединение числа решений всех уравнений вида (2) приводит к асимптотич. формуле для числа решений уравнения (1).

Рассмотренная схема Д. м. применима и для решения уравнений вида

α - β = l,

где l - заданное целое число, отличное от нуля.

При помощи этого метода Ю. В. Линником и др. (см. [3]) был решен ряд классических бинарных аддитивных проблем, к-рые до создания Д. м. могли быть решены только на основе эвристических или гипотетических соображений. К числу таких проблем относятся: аддитивная проблема делителей (α = х₁, х₂, ... x_k, k = const, β = ху); Титчмарша проблема делителей (α = p - простое, β = ху); Харди - Литлвуда проблема (α = р - простое, β = х² + у²).

При помощи Д. м. решены также нек-рые аналоги и обобщения этих проблем, в частности найдена асимптотика для числа решений общего уравнения Харди-Литлвуда:

р + φ(ξ, η) = n,

где р - простое, а φ(ξ, η) - заданная примитивная положительно определенная квадратичная форма. Доказано существование бесконечного множества простых чисел вида

p = φ(ξ, η) + l,

где l ≠ 0 - любое фиксированное целое число.

Область применения Д. м. пересекается с областью применения метода большого решета Ю. В. Линника.

Лит.: [1] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [2] Приложение 1 в кн.: Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [3] Бредихин Б. М., «Успехи матем. наук», 1965, т. 20, в. 2, с. 89-130; [4] Бредихин Б. М., Линник Ю. В., в сб.: Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974, с. 5-22.

Б. М. Бредихин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.