ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ

ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕ - уравнение, связывающее частоту колебаний ω и волновой вектор к плоской волны, зависящей от времени и координат по закону

exp {i (ωt - kr)}.

Д. у. выводится из уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, и определяет дисперсию волн (см., напр., случай электродинамич. процессов в [1], [2]). В зависимости от характера задачи оно может быть использовано для определения частот колебаний по волновому вектору ε_n = ε_n(k) или величин волновых векторов по их направлению и частоте колебаний.

Первый случай тесно связан с решением задачи Коши и исследованием устойчивости положения равновесия, соответствующего тривиальному решению уравнений рассматриваемого волнового процесса. С помощью разложения начальных условий в интеграл Фурье решение задачи Коши может быть записано в виде суперпозиции плоских волн с частотами ε_n(k). Если при нек-ром действительном k среди этих частот имеется хотя бы одна с отрицательной мнимой частью, то это означает существование ограниченных начальных возмущений, к-рым соответствуют экспоненциально нарастающие решения, т. е. неустойчивость.

Второй случай решения Д. у. связан с задачами возбуждения монохроматич. колебаний внешними источниками, гармонически зависящими от времени.

Лит.: [1] Ландау Л. Д., Лившиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, М., 1957; [2] Силин В. П., Рухадзе А. А., Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред, М., 1961.

Д. П. Костомаров.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.