ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ в статистической механике - системы, микроскопич. состояния к-рых определяются заданием состояний в каждом из узлов фиксированной пространственной решетки. С точки зрения приложений - это модели твердого тела, в к-рых одно из микроскопич. движений, связанное с изменением состояний в узлах решетки, выделено и считается независимым от других. Одна из наиболее простых Д. с.- модель Изинга (1925) - характеризуется гамильтонианом

H = -h∑_1≤i≤N σ_i - ∑_1≤i<j≤N J(i, j)σ_iσ_j,

где i = r_i - координаты узлов решетки, σ_i = ±1.

Эта модель используется для исследования сплавов типа замещения, магнетиков, решетчатого газа и др. Для Д. с. такого типа характерно наличие в них при температуре ниже λ-точки дальнего порядка - общей регулярности в направлении спинов σ_i магнетиков или регулярности в чередовании атомов различного сорта в бинарных сплавах, к-рая при повышении температуры пропадает в точке θ_λ (точке λ-перехода) с характерным выбросом теплоемкости c_v, в то время как ближний порядок - корреляция отдельного узла с окружающими его узлами - такого резкого изменения не претерпевает. Качественное описание явлений упорядочения укладывается в теорию типа теории молекулярного поля. Несмотря на математич. простоту модели, точное решение в общем виде получено только для одномерной модели и для плоской ферромагнитной решетки (J(i, j) > 0) с взаимодействием только ближайших соседей и в случае h = 0. Одномерная модель фазового перехода не претерпевает, а двухмерная имеет особенность теплоемкости логарифмич. типа (принципиально в случае N → ∞). Для общего случая разработаны приближенные методы в области низких и высоких температур.

Из других моделей распространена модель магнетиков Гейзенберга, гамильтониан к-рой отличен от гамильтониана модели Изинга тем, что числа σ_i заменены на σ^z_i, а произведение σ_iσ_j - на (σ_i, σ_j), где σ_i - спиновые Паули матрицы.

Целый класс Д. с. с определенным типом взаимодействия узлов решетки допускает асимптотически точное при N → ∞ рассмотрение с помощью метода аппроксимирующих гамильтонианов [3].

Лит.: [1] Xуанг К., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1966; [2] 3айман Дж., Принципы теории твердого тела, пер. с англ., М., 1966; [3] Боголюбов Н. Н. (мл.), Метод исследования модельных гамильтонианов, М., 1974.

И. А. Квасников.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.