ДИСКРЕПАНС

ДИСКРЕПАНС последовательности точек ω = (x₁, ..., x_N) из единичного s-мерного куба K_s = {x : 0 ≤ x_ν ≤ 1, ν = 1̅,̅s} - норма функционала

φ(α, ω) = v - N(V)/N, (1)

вычисленная в той или иной метрике. Здесь v и N(V) соответственно объем области V = {x : 0 ≤ x_ν ≤ α_ν ≤ 1, ν = 1&3773;,̅s} и число точек последовательности ω, принадлежащих области V. Если рассматривается распределение точек последовательности ω по областям вида V = {x : 0 ≤ α_ν ≤ x_ν ≤ β_ν ≤ 1, ν = 1̅,̅s}, то в (1) принято вместо φ(α, ω) писать φ(α, β, ω).

Наиболее употребительны нормы функционала (1):

Последовательность точек ω = (x₁, ..., x_N, ...) из единичного s-мерного куба K_s равномерно распределена тогда и только тогда, когда (см. [1]):

lim_N→∞ D_N(ϓ) = 0.

Для любой бесконечной последовательности одномерных точек ω = {х_n : 0 ≤ x_n ≤ 1, n = 1̅,̅∞} справедлива теорема (см. [3]):

li̅m̅ ND_N(ω) = ∞.

Какова бы ни была последовательность ω = {x_n :0 ≤ : ≤ : х_n ≤ 1, n = 1̅,̅∞} можно указать последовательность N₁, ..., N_k ... такую, что при N = N_k (см. [4]):

ND_N (ω) С₁√ln N.

Окончательный результат для бесконечных последовательностей одномерных точек состоит в том, что при N = N_k (см. [5]):

ND_N(ω) ≥ C₂ ln N.

Исследовался Д. различных конкретных последовательностей (см. [6]-[8]) и получены оценки сверху

ND_N(ω, L₂) ≤ C₃(s) ln^s+1N,

ND_N(ω) ≤ С₄(s)ln^sN,

соответственно для конечных и бесконечных последовательностей; и оценки снизу (см. [4]): для любой последовательности из N точек имеет место неравенство

ND_N(ω, L₂) ≥ С₅(s) ln^(s+1)/2N;

какова бы ни была бесконечная последовательность ω = {x_n : x_n ∈ K_s, n = 1̅,̅∞} можно указать последовательность номеров N₁, ..., N_k, ... , таких, что при N = N_k:

ND_N(ω, L₂) ≥ C₆(s) ln^s/2N.

При этом

D_N(ω) ≥ D_N(ω, L₂).

Лит.: [1] Weуl H., «Math. Ann.», 1916, Bd 77, S. 313-52; [2] Van der Соrput J. G., «Рrос. Koninkl. ned. akad. wet. A», 1935, dl 38, № 8, p. 813-21; № 10, p. 1058-66; [3] Van Aordenne-Ehrenfert Т., «Indagat. math.», 1949, dl 11, p. 264-69; [4] Rоth K. F., «Mathematika», 1954, v. 1, p. 73-79; [5] Schmidt W. M., «Acta arithm.», 1972, t 21, p. 45-50; [6] Halton J. H., «Numer. Math.», 1960, Bd 2, № 2, S. 84-90; [7] Соболь И. M., «Ж. вычисл. матем. и матем. физ.», 1967, т. 7, № 4, с. 784-802; [8] Коробов Н. М., Теорикочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963; [9] Кuiреrs L., Niederreiter H., Uniform distribution of sequences, N. Y., 1974.

В. M. Солодов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.