ДИРИХЛЕ L-ФУНКЦИЯ

ДИРИХЛЕ L-ФУНКЦИЯ, Дирихле L-pяд, L-pяд, - функция комплексного переменного s = = σ + it, определяемая для всех Дирихле характеров χ mod d рядом

  (1)

Д. L-ф. mod d как функции действительного переменного s введены в 1837 П. Дирихле (P. Dirichlet, см. [1]) в связи с доказательством бесконечности простых чисел в арифметич. прогрессии dm + l, разность d и первый член l к-рой взаимно простые числа. Они представляют собой естественное обобщение - дзета-функции Римана ζ(s) на арифметич. прогрессии и служат мощным средством исследований в аналитич. теории чисел (см. [2]-[4]).

Ряды (1), наз. Дирихле рядами, абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной области комплексной s - плоскости, для к-рой σ ≥ 1 + γ, γ > 0. Если χ -неглавный характер, то

  (2)

В силу ограниченности суммы под знаком интеграла эта формула осуществляет аналитическое продолжение L(s, χ) как регулярной функции в полуплоскость σ > 0.

Для любого χ mod d справедливо представление L(s, χ) в виде произведения Эйлера по простым числам р:

L(s, χ) = ∏_p (1 - χ(p)/p^s)^-1, σ > 1. (3)

Отсюда, если χ = χ₀ главный характер mod d, то при d = 1

L(s, χ₀) = ζ(s).

а для d > 1

L(s, χ₀) = ζ(s) ∏_p\d (1 - 1/p^s).

Поэтому свойства L (s, χ₀) на всей комплексной плоскости в основном определяются свойствами ζ(s). В частности, функция L(s, χ₀) регулярна для всех s, кроме s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом d^-1φ(d), φ - функция Эйлера. Если же χ ≠ χ₀ и χ* примитивный характер, к-рый индуцирует характер χ mod d, то

L(s, χ) = L(s, χ*) ∏_p\d (1 - χ*(p)/p^s). (4)

Тем самым в главном Д. L-ф. с характерами χ ≠ χ₀ сводятся к таковым для примитивных характеров. Это свойство Д. L=ф. играет существенную роль, так как многие результаты, касающиеся L(s, χ), имеют простой вид лишь для примитивных характеров. В случае примитивного характера χ mod d аналитич. продолжение на всю плоскость и функциональное уравнение функции L(s, χ) получаются прямым обобщением метода Римана для ζ(s). Результат, если положить

имеет вид

ξ(1 - s, χ̅) = ε(χ) ξ(s, χ), (5)

где Г - гамма-функция, ε(χ)= i^δd^½/τ(χ), |ε(χ)| = 1, τ(χ) - Гаусса сумма, χ̅ - характер, комплексно сопряженный с χ. Это равенство наз. функциональным уравнением функции L(s, χ). Из него и формул (2) и (4) следует, что функции L(s, χ), ξ(s, χ) являются целыми функциями для всех χ ≠ χ₀ Причем, при σ ≤ 0 L(s, χ) = 0 лишь в точках s = -2ν - δ, ν = 0, 1, 2, ..., и в точках s, где произведение из (4) обращается в нуль; эти точки наз. тривиальными нулями L(s, χ). Остальные нули L(s, χ) наз. нетривиальными нулями. Для σ > 1 функция L(s, χ) ≠ 0; Ш. Ж. Валле Пуссен (Ch. J. Vallee-Poussin) показал, что L(1 + μt, χ) ≠ 0; так что все нетривиальные нули Д. L-ф. лежат в области 0 < σ < 1, к-рая наз. критической полосой.

Распределение нетривиальных нулей, вообще значений L(s, χ) в критич. полосе, является важнейшей проблемой теории Д. L-ф., имеющей фундаментальное значение для теории чисел.

То, что каждая из функций L(s, χ) имеет бесконечно много нетривиальных нулей и что законы распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях находятся в прямой зависимости от расположения этих нулей, показывают соответствующие аналоги формул Римана. Именно, пусть N(T, χ) - число нулей функции L(s, χ) с примитивным χ mod d в прямоугольнике 0 < σ < 1 |t| < Т, T ≥ 2. Тогда

Пусть Λ(n) - функция Мангольдта, 1 ≤ l ≤ d, (l, d) = 1,

ψ(x; d, l) = ∑_{n≤X,n≡l(mod d)} Λ(n),

ψ(x, χ) = ∑_n≤X χ(n)Λ(n).

Тогда по свойству ортогональности характеров

  (6)

где суммирование производится по всем характерам χ mod d, и для χ-примитивного характера χ, α = 1 - δ:

где π = β + iγ пробегает нетривиальные нули L(s, χ), L' - производная L по s.

Практически более полезны приближенные формулы для ψ(х; α): для произвольного χ ≠ χ₀, 2 ≤ T ≤ x,

  (7)

а для χ = χ₀

ψ(x, χ₀) = ∑_n≤x Λ(n) + O(ln x ln d). (8)

Последняя функция вносит в сумму (6) величину, представляющую главный член.

Существует гипотеза, наз. расширенной гипотезой Римана, о том, что все нетривиальные нули Д. L-ф. лежат на прямой σ = ½. Если эта гипотеза справедлива, то для d ≤ х

ψ(x; d, l) = x/φ(d) + O(√x ln²x),

и многие другие важные проблемы теории чисел получили бы свое окончательное решение. Однако вопросы, касающиеся расположения нетривиальных нулей Д. L-ф. исключительно трудны и в настоящее время (1978) в этом отношении известно сравнительно немного, причем для комплексных характеров получены более сильные результаты, чем для действительных.

Обобщением метода, указанного в 1899 Ш. Ж. Балле Пуссеном для функции ζ(s), получена граница нетривиальных нулей L (s, χ): для комплексного характера χ mod d существует абсолютная постоянная С такая, что L(s, χ) не имеет нулей в области σ > 1 - С/ln d (|t| + 2);

если же χ - действительный неглавный характер mod d, то L(s, χ) может иметь в этой области самое большое один простой действительный (t = 0) нуль, к-рый наз. исключительным нулем L(s, χ). Для исключительного нуля β, из формул числа классов квадратичных полей, выведено неравенство

β ≤ 1 - С/d^½ ln² d.

Последняя известная граница для β указана в 1935 К. Зигелем (С. Siegel): при любом ε > 0 существует положительное число С(ε) такое, что

β ≤ 1 - С(ε')d^-ε.

Эта оценка имеет однако существенный недостаток, она является неэффективной в том смысле, что по заданному ε нельзя оценить численное значение постоянной С(r). Таким же недостатком страдают и теоретико-числовые результаты, вывод к-рых опирается на оценку Зигеля.

Вследствие указанных границ для нетривиальных нулей Д. L-ф. и формул (6)-(8) справедлив асимптотич. закон распределения простых чисел в виде:

ψ(x; d, l) = x/φ(d) + O(x exp[-C₁ √(ln x)]),

где С₁- абсолютная постоянная для d ≤ (ln x)^1-γ при нек-ром фиксировании γ > 0 и C₁ = C₁(N) - «неэффективная» постоянная для d ≤ (ln d)^N при любом фиксированном N > 1 - γ.

Эти результаты являются лучшими в проблеме равномерного распределения простых чисел в арифметич. прогрессиях растущей разности d. Для фиксированных значений d известно несколько больше. В таком случае теория Д. L-ф. при t ≠ 0 во многом аналогична теории дзета-функции Римана (см. [5]) и последняя граница нулей L(s, χ), полученная по Виноградова методу оценки тригонометрич. сумм, имеет вид:

L(s, χ) ≠ 0

для σ > 1 - С/ln^2/3(|t| + 2) ln^1/3ln(|t| + 2),

где С - положительная постоянная, зависящая от d.

Этой границе нетривиальных нулей Д. L-ф. фиксированного mod d отвечает лучший (1977) остаточный член в асимптотич. формуле для ψ(x; d, l) в виде:

≪ x exp[-C ln^3/5 | ln^1/5 ln x].

Все формулы относительно асимптотики функции ψ(x; d, l) имеют аналоги для функции π(х; d, l) -числа простых чисел p ≤ x, p ≡ l (mod d), с главным членом li x/φ(d) вместо x/φ(d) и остаточным членом, меньшим на множитель ln х.

К числу основных направлений исследований в современной теории Д. L-ф. относятся также исследования плотности распределения нетривиальных нулей Д. L-ф., содержание к-рых составляют оценки величин:

N(σ, T, χ), ∑_{χ mod d} N(σ, T, χ), ∑_d≤D∑_{χ* mod d} N(σ, T, χ),

где N(σ, T, χ) обозначает число нулей L(s, χ) в прямоугольнике 0 < α ≤ σ < 1, |t| < T, χ* - примитивный характер mod d.

Лит.: [1] Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.-Л., 1936; [2] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [3] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [4] Чудаков Н. Г., Введение в теории L-функций Дирихле, М.-Л., 1947; [5] Wаlfisz A., Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie, В., 1963; [6] Mонтгомери Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., 1974; [7] Лаврик А. Ф., «Матем. заметки», 1975, т. 17, в. 5, с. 809 -17.

А. Ф. Лаврик.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.