ДИРИХЛЕ РЯД

ДИРИХЛЕ РЯД для аналитической почти периодической функции - ряд вида

f(s) ~ ∑_n A_ne^Λ_nτe^iA_nt = ∑_n A_ne^Λ_ns. α < τ < β, (*)

представляющий собой все ряды Фурье аналитической регулярной почти периодической в полосе (α, β), -∞ ≤ α < β ≤ +∞, функции f(s) = f(τ + it) на континуальной совокупности прямых R(s) = τ (см. Почти периодическая функция аналитическая).

Двум различным почти периодическим в одной и той же полосе функциям соответствуют два различных Д. р. В случае 2π-периодич. функции ряд (*) переходит в ряд Лорана. Числа А_n и Λ_n наз., соответственно, коэффициентами и показателями Дирихле. В отличие от классического Д. р. множество действительных показателей Λ_n в (*) может иметь конечные предельные точки, и, даже, быть всюду плотным. Если все показатели Дирихле имеют один и тот же знак, напр., если f(s) - почти периодич. функция в полосе (α, β) и в (*) Λ_n < 0, то f(s) - почти периодич. функция в полосе (α, +∞), и lim_τ→+∞ f(s) = 0 равномерно по t. Аналогичная теорема имеет место для положительных показателей Дирихле (см. [2]). Если f(s) - почти периодич. функция в полосе [α, β] и неопределенный интеграл функции f(s) в полосе [α, β] ограничен, то ряды

∑_Λn<0 A_ne^Λ_ns, ∑_Λn≥0 A_ne^Λ_ns

являются рядами Дирихле двух функций f₁(s) и f₂(s), почти периодических в любой полосе [α₁, +∞), α₁ > α, соответственно (-∞, β₁], β₁ < β.

Лит.: [1] Бор Г., Почти периодические функции, пер, с нем., М.-Л., 1934; [2] Левитан Б. М., Почти периодические функции, М., 1953.

Е. А. Бредихина.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.