ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП

ДИРИХЛЕ ПРИНЦИП - метод решения краевых задач для эллиптич. уравнений с частными производными сведением их к вариационным задачам отыскания минимумов нек-рых функционалов в определенных классах функций. В узком смысле Д. п. означает решение 1-й краевой задачи

u |_∂G = ϑ (1)

в области G с границей ∂G для уравнения Лапласа

Δu = 0 (2)

сведением ее к отысканию минимума Дирихле интеграла

в классе функций, удовлетворяющих условию

D(u) < +∞ (3)

и условию (1) (см. Дирихле вариационная задача).

Д. п. возник и получил широкое распространение в нач. 19 в. Он применялся как с чисто теоретическими целями для доказательства существования и единственности решений краевых задач, так и при решении практически важных задач. Наиболее четкая и полная формулировка Д. п. для класса функций непрерывных вместе со своими частными производными, по-видимому, была дана в лекциях П. Дирихле (P. Dirichlet), опубликованных в 1876 одним из его учеников. Доказательства, данные Дирихле, были неполны, в частности, у него даже не ставился вопрос о необходимости доказательства существования минимума рассматриваемого функционала в классе допустимых функций, т. е. функций, удовлетворяющих условиям (1) и (3). В конце 60-х гг. 19 в. Д. п. был подвергнут критике К. Вейерштрассом (К. Weierstrass), показавшим на примере, что дифференциальная краевая задача (1), (2) при некрой граничной непрерывной функции φ может иметь решение, а соответствующая вариационная задача -нет, за счет того, что в этом случае интеграл Дирихле для решения задачи (1), (2) обращается в бесконечность. Обосновать Д. п. в предположении, что существует хоть одна допустимая функция, удалось лишь Д. Гильберту (D. Hilbert) на рубеже 19 и 20 вв. Дальнейшее существенное развитие Д. п. содержится в работах С. Л. Соболева, показавшего, что всякая функция, определенная на n-мерной области и имеющая в ней обобщенные частные производные достаточно высокого порядка, принадлежащие пространству L_p, р ≥ 1, принимает на всяком достаточно гладком n-мерном многообразии, 0 ≤ m < n, естественные устойчивые граничные значения. Это позволило С. Л. Соболеву сформулировать и обосновать Д. п. для полигармонич. уравнения, причем и в случае, когда граница области состояла из многообразий различной размерности.

Возникновение Д. п. явилось существенным этапом в развитии теории краевых задач уравнений с частными производными, так как оно означало создание принципиально новой точки зрения на эту теорию. Д. п. и его всевозможные модификации, основанные, в конце концов, на сведении рассматриваемой задачи к той или иной вариационной задаче, получили широкое распространение как в различных разделах самой математики, так и в ее приложениях. Это связано с тем, что этот метод позволяет как доказывать общие теоремы о решениях уравнений, так и получать их конкретные решения в виде пределов так наз. минимизирующих последовательностей (т. е. последовательностей допустимых функций, значения минимизирующего функционала на к-рых стремятся к его минимуму), при этом численные методы, основанные на построении минимизирующих последовательностей, удобны для отыскания приближенных решений на ЭВМ.

Л. Д. Кудрявцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.