ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ДИОФАНТОВЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ МЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ — раздел теории чисел, изучающий метрич. свойства чисел, обладающих определенными свойствами аппроксимации (см. Диофантовы приближения, Метрическая теория чисел). Одной из первых теорем Д. п. м. т. является теорема Хинчина (см. [1], [2]), в современной форме утверждающая (см. [3]): пусть φ(q) > 0 — монотонно убывающая функция, определенная для целых q > 0. Тогда неравенства ||αq|| < φ(q) для почти всех действительных α имеют бесконечное число решений в целых q > 0, если расходится ряд

  φ(q), (1)

и имеют лишь конечное число решений, если этот ряд сходится (здесь и в дальнейшем ||x|| есть расстояние от х до ближайшего целого, т. е.

||x||=min |х — а|,

где min берется по всем целым а; выражение «почти все» относится к мере Лебега в соответствующем пространстве). Эта теорема характеризует точность приближения почти всех действительных чисел рациональными дробями. Напр., для почти всех α существует бесконечное число рациональных приближений a/q, удовлетворяющих неравенству

|α - a/q| < q^-2 (ln q)^-1,

в то время как неравенство

|α - a/q| < q^-2 (ln q)^-1-ε

при любом ε > 0 имеет бесконечное число решений лишь для множества чисел α нулевой меры.

Обобщение этой теоремы на случай совместных приближений (см. [3]): система неравенств

max (||α₁q||, ..., ||α_nq||) < φ(q) (2)

имеет конечное или бесконечное число решений для почти всех (α₁, ..., α₁) ∈ Rⁿ в зависимости от того, сходится или расходится ряд

  φⁿ(q).

Более далекие обобщения относятся к системам неравенств от многих целочисленных переменных (см. [5]).

Характерной особенностью теоремы Хинчина и различных ее обобщений является то, что свойство «сходимости — расходимости» рядов типа (1), (3) разграничивает те случаи, когда соответствующий порядок аппроксимации имеет место для множества чисел нулевой меры или для почти всех чисел. Это своего рода закон «нуля — единицы» Д. п. м. т. Еще одной особенностью указанных обобщений является то, что утверждаемое в них метрич. свойство чисел относится к мере, определенной во всем пространстве, к-рому принадлежат числа, участвующие в аппроксимации, а мера пространства определяется как произведение мер в координатных пространствах. Напр., в случае системы (2) речь идет о приближении n «независимых» чисел и о мере Лебега в ℝⁿ = ℝ × ℝ × ... × ℝ (n раз). В связи с этим рассмотренная часть Д. п. м. т. стала наз. Д. п. м. т. независимых величин. Эта часть Д. п. м. т. разработана достаточно хорошо, хотя остается ряд нерешеных (к 1978) вопросов. Одним из них является вопрос о том, какие условия нужно наложить на последовательность измеримых множеств A(q), q = 1, 2, ..., интервала [0,1], чтобы сходимость или расходимость ряда ∑_q |A(q)| соответствовала конечному или бесконечному числу выполнений условия α(q) ∈ A(q) mod 1 для почти всех α. Аналогичная задача возникает в случае системы чисел (α₁q, α₂q, ..., α_nq) (см. [4]).

Д. п. м. т. зависимых величин, возникшая позднее, сразу выдвинула ряд глубоких и своеобразных проблем (см. [5]). Первая из них происходила из теории трансцендентных чисел (гипотеза Малера) и касалась совместных рациональных приближений к системе чисел t, t², ..., tⁿ для почти всех t при любом фиксированном натуральном n. Один из последних результатов, полученных в этом направлении, состоит в следующем: пусть φ(q) > 0 — монотонно убывающая функция, для к-рой ряд

  q^-1 φ(q)

сходится. Тогда система неравенств

max (||tq||,||t²q||, ..., ||tⁿq||) < q^1/nφⁿ(q)

для почти всех t имеет лишь конечное число решений в целых q > 0 (см. [7]).

Эта теорема утверждает определенное свойство аппроксимации рациональными числами почти всех точек кривой Г ⊍ ℝⁿ. Можно рассматривать более общие многообразия в ℝⁿ и получать подобные результаты.

Если почти все (в смысле меры на Г) точки (α₁, ..., α_n) многообразия Г таковы, что система (2) с φ(q) = q^-1/n-ε имеет конечное число решений в целых q > 0 при любом ε > 0, то Г наз. экстремальным, т. е. почти все точки допускают лишь наихудшую совместную аппроксимацию рациональными числами. Известна теорема Шмидта: если Г — кривая в ℝ², имеющая почти во всех своих точках отличную от нуля кривизну, то она экстремальна [8].

Тригонометрических сумм метод (см. также Виноградова метод) позволяет обнаружить свойство экстремальности у многообразий Г весьма широкого класса в ℝⁿ, но при условии, что топологическая размерность dim Г ≥ n/2. Если же dim Г < n/2, то экстремальное многообразие не может быть слишком общим, и его структура должна указываться достаточно определенно [9].

Лит.: [1] Хинчин А. Я., «Math. Z.», 1926, Bd 24, S. 706 — 14; [2] его же, Цепные дроби, 4 изд., М., 1978; [3] Касселс Дж., Введение в теорию диофантовых приближений, пер. с англ., М., 1961; [4] Сassеls J. W. S., «Рrос. Cambridge Philos. Soc.», 1950, v. 46, № 2, p. 209—18; [5] Спринджук В. Г., Проблема Малера в метрической теории чисел, Минск, 1967; [6] его же, в кн.: Международный конгресс математиков в Ницце. 1970, М., 1972, с. 301—06; [7] Baker А., «Рrос. Roy. Soc.», Ser. А, 1966, v. 292, № 1428, p. 92—104; [8] Schmidt W., «Monatsh. Math.», 1964, Bd 68, № 2, S. 154—66; [9] Спpинджук В. Г., «Тр. Матем. ин-та АН СССР», 1972, т. 128, в. 2, с. 212—28; [10] его же, в сб.: Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974, с. 178 — 98.

В. Г. Спринджук.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.