ДИОФАНТОВА ГЕОМЕТРИЯ

ДИОФАНТОВА ГЕОМЕТРИЯ, диофантов анализ,- область математики, посвященная изучению целочисленных и рациональных решений систем алгебраич. уравнений, или, иначе, изучению диофантовых уравнений, методами алгебраич. геометрии. Появление во 2-й пол. 19 в. теории алгебраич. чисел сделало естественным изучение диофантовых уравнений с коэффициентами из произвольного поля алгебраич. чисел, причем решения ищутся или в этом поле, или же в его кольце целых элементов. Параллельно с теорией алгебраич. чисел развивалась и теория алгебраических функций. Глубокая аналогия между ними, подчеркивавшаяся Д. Гильбертом (D. Hilbert) и особенно Л. Кронекером (L. Kronecker), привела к единообразному построению различных арифметич. теорий для этих двух типов полей (см. [3]), называемых обычно глобальными полями. Особенно отчетливо эта аналогия проступает в том случае, когда в качестве алгебраич. функций рассматриваются функции одного переменного и с конечным полем констант. Хорошей иллюстрацией тому служат такие понятия как дивизоры, ветвление и такие результаты как теория полей классов. Проникновение этой точки зрения в теорию диофантовых уравнений произошло позднее, и систематич. рассмотрение диофантовых уравнений не только с числовыми, но и с функциональными коэффициентами началось только в 50-х гг. 20 в. Решающее влияние оказало на это развитие алгебраич. геометрии. Одновременное рассмотрение числовых и функциональных полей, выступающих как две равноправные стороны одного и того же предмета, не только приводит к красоте и законченности результатов, но и взаимно обогащает оба аспекта (см. [3]).

В алгебраич. геометрии неинвариантное понятие системы уравнений заменяется понятием алгебраического многообразия над заданным полем K, а место решений занимают рациональные точки со значениями в поле K или его конечном расширении. Поэтому можно сказать, что основная задача диофантовой геометрии состоит в изучении множества Х(K) рациональных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем К указанного выше вида. Целочисленные решения диофантовых уравнений также имеют геометрич. смысл.

При изучении рациональных (или целых) точек на алгебраич. многообразиях прежде всего возникает вопрос о существовании хотя бы одной такой точки. Десятая проблема Гильберта сформулирована как задача нахождения общего метода, позволяющего решать этот вопрос для любого алгебраич. многообразия. После появления точного понятия алгоритма и доказательства алгоритмич. неразрешимости целого ряда задач стало ясно, что проблема Гильберта может иметь и отрицательное решение (см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости), и наиболее интересным является вопрос о том, для каких классов диофантовых уравнений такой алгоритм существует. Известно несколько общих подходов к этой задаче. Наиболее естественным с алгебраич. точки зрения является так наз. принцип Хассе. Он состоит в рассмотрении наряду с исходным полем K его пополнений K_v по всевозможным нормированиям. Поскольку Х(К) ⊂ X(K_v), то необходимым условием существования K - рациональной точки является непустота множеств X(K_v) для всех v. Значение принципа Хассе состоит в том, что он сводит вопрос о существовании точки к аналогичному вопросу над локальным полем. Последняя задача существенно проще - для нее известен алгоритм, а в частном важном случае, когда многообразие X проективно и неособо, Гензеля лемма и ее обобщения позволяют произвести дальнейшую редукцию и свести все к изучению рациональных точек над конечным полем, где задача решается или последовательным перебором, или более совершенными средствами (см. Алгебраических многообразий арифметика; см. также [2], [12]). Последнее существенное обстоятельство, связанное с принципом Хассе, состоит в том, что для всех v, кроме конечного числа, множества X(K_v) непусты, так что число условий всегда конечно, и они могут быть эффективно проверены (см. [2]). Но уже для кривых 3-й степени принцип Хассе неприменим. Так, кривая 3x³ + 4y³ = 5 имеет точки во всех полях р-адических чисел и в поле действительных чисел, но не имеет рациональной точки (см. [2], [7]). Этот пример послужил отправным пунктом для создания теории, описывающей «отклонение» от принципа Хассе в классе главных однородных пространств абелевых многообразий (см. [7], [10]). Это отклонение описывается в терминах специальной группы Ш, сопоставляемой каждому абелеву многообразию (группа Тейта - Шафаревича). Основную трудность теории составляет отсутствие способов вычисления группы Ш, к-рая (к 1978) не вычислена ни для одного многообразия. Эта теория распространена и на другие классы алгебраич. многообразий (см. [11]).

Другое эвристическое соображение, используемое при изучении диофантовых уравнений, состоит в том, что если число переменных, входящих в систему уравнений, велико по сравнению со степенью, то система, как правило, имеет решение. Однако доказать это в тех или иных случаях бывает очень трудно. Единственный общий подход к задачам такого типа принадлежит аналитич. теории чисел и основан на применении оценок тригонометрии, сумм (см. Тригонометрических сумм метод, Виноградова метод; см. также [4]). Первоначально этот метод применялся к уравнениям довольно частного вида (напр., к Варинга проблеме). Но в дальнейшем с его помощью было доказано, что если F - форма нечетной степени d от п переменных и с рациональными коэффициентами, то при п, достаточно большом по сравнению с d, проективная гиперповерхность F=0 имеет рациональную точку (см. [2]). Имеется гипотеза Артина, утверждающая, что этот результат справедлив уже при n > d² (см. [2], [10]). Она доказана (к 1978) только для квадратичных форм. Аналогичные вопросы можно ставить и для других полей. В частности, о результатах, полученных для локальных полей, см. Алгебраических многообразий арифметика; см. также [5]. Центральной проблемой Д. г. является изучение структуры множества рациональных или целых точек и прежде всего выяснение вопроса о том, конечно оно или нет. В этой последней задаче основное эвристическое предположение состоит в том, что если степень системы намного больше числа переменных, то система имеет, как правило, конечное число решений (см. [10]). В отличие от рассмотренной выше задачи о разрешимости, никаких общих результатов (к 1978) в этом направлении нет. Наибольшее число исследований посвящено случаю алгебраич. кривых. Оказалось, что строение множества рациональных точек X(K) кривой X, определенной над полем K, сильно зависит от ее рода g. Если g = 0, то либо множество X(K) пусто, либо кривая X бирационально эквивалентна над полем K проективной прямой. Последнее означает, что множество X(K) бесконечно, и существует параметризация его рациональными функциями нек-рой переменной со значениями из поля K (см. [7], [13], [1]). Кривые рода g = 1 с непустым множеством X(K) рассматривались в 1901 А. Пуанкаре (Н. Роincaré), к-рый показал, что они бирационально эквивалентны плоским кубич. кривым, и ввел на множестве X(K) структуру абелевой группы (см. Эллиптическая кривая; см. также [1], [7]). Гипотеза Пуанкаре о том, что при К = 0 группа имеет конечное число образующих, доказана К. Морделлом (К. Mordell, 1922) {см. [15]). Это было обобщено А. Вейлем (A. Weil, 1928) на произвольные поля алгебраических чисел и А. Нероном (A. Neron, 1952) на любые глобальные поля (см. [8]).

Группу X(K) можно представить в виде прямой суммы свободной группы ранга г и конечной группы порядка n. Вопрос о том, ограничены ли эти числа на множестве всех эллиптич. кривых над данным полем K, привлекал внимание начиная с 30-х гг. (см. [7]). Ограниченность кручения n доказана в 1971. В функциональном случае существуют кривые сколь угодно большого ранга (см. [12]). В числовом случае ответ (к 1978) неизвестен.

Наконец, в случае кривой рода g > 1 имеется гипотеза Морделла о конечности числа рациональных точек (высказанная для К = Q; точную формулировку см. в [9]). В функциональном случае эта гипотеза доказана Ю. И. Маниным в 1963 (см. [12]). Если же основное поле - числовое, то гипотеза доказана для модулярных кривых. Все имеющиеся результаты дают конечность числа точек в не слишком больших расширениях основного поля (см. [12]).

Гораздо большие успехи достигнуты в изучении целых точек. Здесь имеется весьма общий метод диофантовых приближений, предложенный в 1909 А. Туэ (A. Thue) (см. [6], [8], [9], [13]). Он основан на следующем. Пусть F(x, y) = ∏_i (x - a_iy) - форма с рациональными коэффициентами и пусть имеется целочисленное решение (x₀, y₀) уравнения F(x, у) = с, с ≠ 0. Тогда для нек-рого i |a₀ - x₀/y₀| < b/yⁿ₀, b = const.

Если α - алгебраич. число степени n ≥ 3, то неравенство |α - p/q| < 1/q^ε имеет конечное число решений в целых p и q при ε ≥ n/2 + 1. Отсюда следует конечность числа целых точек на кривых вида F(x, у) = с. С тех пор каждое продвижение в проблеме диофантовых приближений алгебраич. чисел давало соответствующие результаты для целых точек. Так была доказана в 1929 К. Зигелем (С. Siegel) теорема о конечности числа целых точек на любой кривой рода g > 0. О дальнейших обобщениях этой теоремы на случай целых точек в произвольных глобальных полях см. также [9].

Основным технич. средством, используемым в доказательстве этих и других теорем конечности в Д. г., является высота (см. Высота в диофантовой геометрии).

Среди алгебраич. многообразий размерности > 1 наиболее изучены абелевы многообразия, представляющие собой многомерный аналог эллиптических кривых. Обобщая теорему Морделла, А. Вейль перенес ее утверждение о конечности числа образующих группы рациональных точек на абелевы многообразия любой размерности (теорема Морделла - Вейля). В 60-х гг. появилась гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера, связывающая ранг этой группы с порядком полюса дзета-функции многообразия X в точке dim X (см. [7], [12]). Несмотря на многочисленные аргументы в пользу этой гипотезы, никаких подходов к ее доказательству (к 1978) пока нет. Нет никакого продвижения (к 1978) и в гипотезах конечности для рациональных точек замкнутых подмногообразий и целых точек аффинных открытых подмножеств абелевых многообразий (см. [9], [10]).

Другой класс алгебраич. многообразий, для изучения к-рого имеются общие методы и подходы, состоит из многообразий вида

F(x₁, ..., x_n) = с, с ≠ 0, deg F = m, (*)

где F - форма, разложимая в нек-ром расширении основного поля на линейные множители. Для изучения целых точек на таких Многообразиях имеются два метода. Первый - это отмеченный выше метод диофантовых приближений, созданный А. Туэ именно для уравнений такого вида, но с двумя переменными. Только в 1970 этот метод получил новое развитие: при помощи теоремы Шмидта о совместных приближениях было доказано, что число целых точек на многообразии (*) всегда конечно, если выполняется нек-рое легко проверяемое условие на форму F (его необходимость была известна ранее, см. [2]). Совсем другой метод, основанный на рассмотрении уравнения (*) в области целых p-адических чисел, был предложен в 1935 Т. Сколемом (см. [13]). Этим методом была доказана теорема конечности для уравнения (*) для небольших значений n или m (см. [2]).

Интенсивно исследуется еще один класс алгебраич. многообразий - рациональные и близкие к ним многообразия, являющиеся аналогом кривых рода 0. Получены многочисленные результаты об их классификации и о строении множества рациональных точек (см. [12]). В отличие от рассмотренных выше примеров, здесь все обстоит сложнее, и никаких общих теорем типа теорем Шмидта, Зигеля или Морделла - Вейля не найдено (к 1978).

Отличительной чертой почти всех отмеченных выше результатов является то, что они, раскрывая качественную картину множества рациональных или целых точек, не дают никаких количественных оценок, с помощью к-рых можно явно описать это множество. Получение подобных результатов, или, как говорят, эффективизация качественных теорем, принадлежит к труднейшим задачам Д. г. и вообще теории чисел. Для случая теоремы Туэ такая эффективизация, полученная А. Бейкером (A. Baker) в 1968, состоит в явных оценках высот целых точек в зависимости от коэффициентов уравнения кривой (см. Диофантовых приближений проблемы эффективизации). Затем такая оценка была получена для широкого класса гиперэллиптич. кривых и, в частности, всех кривых рода 1 (см. [12]). Это дает для таких кривых алгоритм, позволяющий найти все целые точки, и тем самым выяснить, есть ли такая точка вообще. Как уже было отмечено, для любого диофантова уравнения такого алгоритма не существует.

Другим чрезвычайно интересным подходом к количественному описанию множества целых точек является развитие кругового метода Харди - Литлвуда. Распространение этого подхода на абелевы многообразия привело к появлению гипотез Берча и Суиннертон-Дайера (см. [15]), использование к-рых привело к построению алгоритма, дающего эффективизацию теоремы Морделла-Вейля. Есть все основания полагать, что дальнейшее развитие этого метода, а также установление его связи с теорией высоты будет иметь большое значение для решения основных проблем ди-офантовой геоетрии.

Лит.: [1] Башмакова И. Г., Диофант и диофантовы уравнения, М., 1972; [2] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [3] Вейль А., «Математика», 1958, т. 2, № 4, с. 49-58; [4] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [5] Greenberg M., Lectures on forms in many variables, N. Y.-Amst., 1969; [6] Дэвенпорт Г., Высшая арифметика, пер. с англ., М., 1965; [7] Касселс Дж., «Математика», 1968, т. 12, № 1, с. 113-60; № 2, с. 1-48; [8] Коksma J. F., Diophantische Approximationen, В., 1936; [9] Lang S., Diophantine geometry, N. Y.-L., 1962; [10]Лeнг С, «Матем тика», 1961, т. 5, № 6, с. 3-12; [11] Манин Ю. И., Кубические формы, М., 1972; [12] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970, М., 1971, с. 111 -51; [13] Skolem Th., Diophantische Gleichungen, В., 1938; [14] Swinnerton-Dyer H. Р. F., в кн.: Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, v. 20. 1969. Number theory institute, Providence, 1971, p. 1-52; [15] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969, гл. XII.

А. Н. Паршин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.