ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ - круг вопросов теории упругости, относящихся к изучению распространения колебаний или состояния установившихся колебаний в упругих средах. В простейшем и наиболее важном для приложений случае линейной теории однородных изотропных упругих тел Д. з. т. у. сводятся к разысканию решений уравнения Ламе:

μΔu (х, t) + (λ + μ) grad div u(x, t) + F(x, t) = ρ ∂²u(x, t)/∂t² (1)

удовлетворяющих в нек-рой области заданным начальным и граничным условиям, здесь u(х, t) ≡ (u₁, u₂, u₃) - вектор смещения в точке x ≡ (x₁, х₂, х₃) в момент t, F(x, t) - объемные силы, λ, μ - Ламе постоянные, ρ - плотность.

Как уравнение гиперболич. типа уравнение (1) допускает действительные характерпстич. поверхности ω(х₁, x₂, x₃; t) = 0, вдоль к-рых производные решения, вообще говоря, выше 1-го порядка терпят разрывы (слабый разрыв). Поверхность разрыва распространяется в пространстве со скоростью

разделяя в каждый момент времени два решения. Уравнение этой поверхности получается из условия невозможности однозначного определения в ее точках всех производных, исходя из знания первых производных и пользуясь уравнением (1). Из уравнения поверхности разрыва:

следует существование двух скоростей перемещения этой поверхности

Эти скорости являются скоростями перемещения двух видов деформации в линейном упругом изотропном теле: а - скорость распространения продольных возмущений, b - поперечных возмущений. Можно также показать, что в нек-рых случаях вдоль границ раздела могут распространяться поверхностные волны, имеющие свои характерные скорости распространения (волны Рэлея на свободной поверхности, волны Стоунли на границе упругих сред).

Изучаются случаи, когда вдоль характеристик терпят разрывы первые производные смещения (сильный разрыв). Если скачки вдоль характеристик терпит лишь нормальная составляющая вектора grad u, а касательные составляющие этого вектора и сами смещения остаются непрерывными, разрыв наз. правильным сильным разрывом. В этом случае на поверхности характеристик соблюдаются условия кинематич. и динамич. совместности, играющие большую роль при решении динамнч. задач методом характеристик.

Явление динамич. деформаций упругого тела усложняется, если тело имеет конечную границу. Каждая точка границы, как только ее коснется любой из фронтов распространяющихся возмущений, к-рые сами являются сложными, изменяющимися во времени образованиями, начинает генерировать, по крайней мере, два типа новых деформаций.

Важными частными случаями уравнения (1) являются случаи, когда поле не зависит от времени (статика) и, когда поле зависит от времени по закону u(х, t) = Re[u(х) e^-iωt],

где u(х) - комплексный вектор (амплитуда колебаний), не зависящий от времени, ω - частота установившихся колебаний. В последнем случае уравнение (1) приводится к эллиптич. снстеме уравнений относительно амплитуды

(1')

Если область D, в к-рой исследуется распространение колебаний, занимает все бесконечное пространство Е₃, для уравнения (1) корректна задача Коши с начальными условиями:

(2) Основную роль играют специальные решения уравнения (1), представляющие смещения бесконечного упругого пространства под влиянием силы, сосредоточенной в единственной точке х⁰ ≡(х⁰₁, х⁰₂, х⁰₃) и равной по величине δ(t) (где δ(t) - дельта-функция Дирака) (фундаментальные решения).

Если сила действует в направлении оси х_k, k = 1, 2, 3, то составляющие смещения u^(k)_j(х, t) = Г_kj, k, j = 1, 2, 3 имеют следующие значения:

где

Матрица фундаментальных решений Г(х - х⁰, t) = ||Г_kj(x - x⁰, t)|| размера 3 × 3, представляет симметричный тензор; решение задачи Коши для уравнения (1) выражается формулой Вольтерра:

(3)

Для однородной системы (1'), Г_kj принимает следующий вид:

(4)

Кроме задачи Коши для уравнения (1) корректны смешанные задачи, к-рые приходится рассматривать, когда область D имеет границу S в конечной части пространства. При этом существенную роль играют граничные условия на S, к-рые должны быть удовлетворены вместе с условиями (2).

Основными считаются следующие типы граничных задач: первая - заданы смещения, вторая - заданы напряжения, третья - задана линейная комбинация смещений и напряжений, четвертая - заданы нормальная составляющая смещения и касательные составляющие напряжения, пятая - заданы касательные составляющие смещения и нормальная составляющая напряжения, шестая - на одной части S заданы смещения и на дополнении - напряжения.

В отличие от задачи Коши, к-рая формулой (3) решается до конца в общем виде, решения смешанных задач были получены только в частных случаях. Важнейшими являются: решения в замкнутом виде первой и второй основных смешанных задач для полуплоскости и полупространства, полученные методом комплексных волн и развитием метода характеристик; решения для волнового уравнения в случае шара, полученные методом функционально-инвариантных интегралов; решения нек-рых задач теории упругости развитием этого же метода, решения ряда задач дифракции. В общем случае получить решения в замкнутом виде не удается; если, однако, от этого требования отказаться, весьма общие результаты устанавливаются методами теории потенциалов и теории сингулярных интегральных уравнений.

С помощью фундаментальных решений (4), по аналогии с теорией гармонич. потенциалов, вводятся понятия эластопотенциалов простого и двойного слоев и объемных масс, к-рые позволяют выразить регулярные решения уравнения (1') формулой:

ε(x)u(х) = ∫_S (T Г(х - у))* u(у) d_yS - ∫_S Г(x - y) Tu(y) d_yS - ∫_D Г(x - y) F(y) dy, (5)

где Т - оператор напряжения, * - знак транспонирования матрицы, ε(x) = 1, если x ∈ D, и ε(х) = 0, если x ∉ D̅. Первые пять граничных условий, указанных выше, позволяют записать с помощью потенциалов соответствующие задачи в виде двумерных сингулярных интегральных уравнений на замкнутой поверхности S. Доказана разрешимость всех задач для произвольной частоты колебаний о в случае внешней области и существование дискретного действительного неотрицательного спектра собственных частот для внутренних задач. Решения выражаются рядами Фурье по нек-рой полной системе векторов, к-рые строятся с помощью (4), и коэффициенты Фурье определяются явно.

Пусть на границе S в области D задано смещение u|_S = f(y), S₁ - произвольная гладкая замкнутая поверхность, окружающая S и не имеющая с ней общих точек, и {x^k}^∞₁ - счетное множество точек на S₁, распределенное всюду плотно. Через Гⁱ(х - х₀), i = 1, 2, 3, обозначены столбцы матрицы Г(х - х⁰). Доказывается, что совокупность векторов {Гⁱ(x^k - y)}^∞₁, i = 1, 2, 3; у ∈ S линейно независима и полна в L₂(S).

Элементы этой совокупности пронумерованы следующим образом:

где [n] - наибольшая целая часть числа n, и введена ортонормированная совокупность

где a_ks - известные числа. Тогда решение задачи во всякой внутренней точке выражается равномерно сходящимся рядом:

(6)

где

Конечный отрезок ряда может служить для вычисления приближенных значений решения.

Результаты, установленные для уравнения (1'), позволяют получить решения смешанных задач для уравнения (1) с помощью преобразования Лапласа.

При исследовании решений уравнения Ламе для слоистых сред рассматривают распространение отдельных волн или интерференцию всех образующихся волн. При первом подходе используется конечность скорости распространения упругих волн и последовательно изучаются распространение волн внутри слоев и процессы отражения и преломления на границах. Для построения интерференционных решений уравнения Ламе краевые условия на границах должны удовлетворяться совместно, что приводит к алгебраич. системе уравнений. Для определения собственных процессов в слоистой системе необходимо найти корни определителя этой системы, при этом нахождение корней может быть сведено к определению собственных значений нек-рых операторов. Собственные числа (корни) могут быть как действительными, так и комплексными в зависимости от характера оператора. Действительным собственным числам соответствуют интерференционные волны Рэлея и Лява, распространяющиеся вдоль слоя без экспоненциального затухания. Расчет различных характеристик этих волн в случае кусочно непрерывной скорости проводится с помощью ЭВМ. Результаты этих вычислений используются для построения теоретич. сейсмограмм.

Затухающие интерференционные волны связаны с комплексными собственными числами несамосопряженных операторов. Оба вида интерференционных волн рассматриваются в сейсмике для объяснения наблюдаемых на практике сейсмич. волн.

Для решения ряда задач о колебаниях однородной среды применялся метод функционально-инвариантных решений. В частности, исследовано волновое поле, порожденное точечным источником, в двух упругих полупространствах с плоской границей раздела; из точных решений получены асимптотич. формулы, описывающие волновое поле в прифронтовых зонах.

В теории упругих волн большое значение имеет геометрич. приближение, применяемое как в стационарном, так и в нестационарном вариантах. Вектор смещения u ищется в виде ряда:

u(М, t) = u_j(M) f_j(t - τ(M)), f'_j = f_j-1, (7)

где f_j - в нестационарном случае функции, имеющие особенность в нуле, в стационарном случае

В отличие от скалярного случая, возможны два типа рядов вида (7), формально удовлетворяющих уравнениям теории упругости. Случай продольных волн, когда

где а - скорость продольных волн, и случай поперечных волн, когда

где b - скорость поперечных волн.

Векторы u_j удовлетворяют рекуррентным соотношениям. Решения многих физически интересных задач допускают разложения вида (7), и «волны» такого вида можно отражать и преломлять, в результате опять получаются «волны», представимые рядами вида (7).

Геометрооптич. методы приложимы и в случае поверхностных волн. Наложением продольной и поперечной волн вида (7) с комплексными эйконалами можно удовлетворить краевым условиям отсутствия напряжений на поверхности. Такого рода построения приводят к широкому классу поверхностных волн, частным случаем к-рых являются волны Рэлея.

Геометрооптич. теорию можно также развить для поверхностных волн иного типа: для волн, аналогичных волнам Лява, и для так наз. волн, удерживаемых поверхностью. Аналог волн Лява, о к-рых идет речь,- это стационарные высокочастотные волны, фазовая скорость к-рых близка к скорости поперечных волн, а направление вектора смещения в первом приближении по частоте перпендикулярно нормали к поверхности и направлению распространения волны. Волны, удерживаемые поверхностью, тоже имеют поверхностную скорость, близкую к скорости поперечных волн. Однако их поляризация другая - вектор смещений лежит в плоскости, образованной нормалью к поверхности и направлением распространения волны.

Лит.: [1] Франк Ф., Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, пер. с нем., ч. 2, Л.-М., 1937, гл. 12; [2] Огурцов К. И., Петрашень Г. И., «Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем. наук», 1951, № 149, в. 24, с. 3-249; [3] Бабич В. М. и др., Линейные уравнения математической физики, М., 1964, гл. 1, 2; [4] Ладыженская О. А., Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., 1953; [5] Ильин В. А., «Успехи матем. наук», 1960, т. 15, в. 2, с. 97-154; [6] Купрадзе В. Д. и др., Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости, М., 1976; [7] Петрашень Г. И., «Уч. зап. ЛГУ», 1956, № 208, в. 30, с. 5-57; [8] Алексеев А. С., Бабич В. М., Гельчинский Б. Я., в кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн, сб. 5, Л., 1961, с. 3-24; [9] Бабич В. М., «Докл. АН СССР», 1961, т. 137, № 6, с. 1263-66; [10] Бабич В. М., Молотков И. А., «Изв. АН СССР. Физика Земли», 1966, № 6, с. 34-38; [11] Мухина И. В., Молотков И. А., там же, 1967, № 4, с. 3-8; [12] Зволинский Н. В., «Изв. АН СССР. Сер. геофиз.», 1957, № 10, с. 1201 - 18; 1958, № 1, с. 3-16; № 2, с. 165-74; [13] Итоги науки и техники. Механика твердых деформируемых тел, т. 10, М., 1977, с. 5-62.

В. Д. Нупрадзе, В. М. Бабич, И. А. Молотков.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.