ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА

ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА - в первоначальном значении термина механич. система с конечным числом степеней свободы. Состояние такой системы обычно характеризуется ее расположением (конфигурацией) и скоростью изменения последнего, а закон движения указывает, с какой скоростью изменяется состояние системы.

В простейших случаях состояние можно охарактеризовать посредством величин w₁, ... , w_m, к-рые могут принимать произвольные (действительные) значения, причем двум различным наборам величин w₁, ... , w_m и и w'₁, ... , w'_m отвечают различные состояния, и обратно, а близость всех w'_i к w_i означает близость соответствующих состояний системы. Закон движения тогда записывается в виде автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

ẇ_i = f_i(w₁, ... , w_m), i = 1, ..., m. (1)

Рассматривая значения w₁, ... , w_m как координаты точки w в m-мерном пространстве, можно геометрически представить соответствующее состояние Д. с. посредством этой точки w. Последнюю наз. фазовой (иногда также изображающей, или представляющей) точкой, а пространство - фазовым пространством системы. (Прилагательное «фазовый» связано с тем, что в прошлом состояния системы нередко называли ее фазами.) Изменение состояния со временем изображается как движение фазовой точки по нек-рой линии (так наз. фазовой траектории; часто, впрочем, ее наз. просто траекторией) в фазовом пространстве. В последнем определено векторное поле, сопоставляющее каждой точке w выходящий из нее вектор f(w) с компонентами

(f₁(w₁, ... , w_m), ..., f_m(w₁, ... , w_m)). (2)

Дифференциальные уравнения (1), к-рые с помощью введенных обозначений можно сокращенно записать в виде

ẇ = f(w), (3)

означают, что в каждый момент времени векторная скорость движения фазовой точки (или, как часто говорят, вектор фазовой скорости; не путать с употреблением того же термина в оптике и вообще при рассмотрении различных волновых процессов) равна вектору f(w), исходящему из той точки w фазового пространства, где в данный момент находится движущаяся фазовая точка. В этом состоит так наз. кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений (1).

Напр., состояние частицы без внутренних степеней свободы (как говорят в механике, материальной точки), движущейся в потенциальном поле с потенциалом U(x₁, x₂, x₃), характеризуется ее положением x = (x₁, x₂, x₃) и скоростью х̇; вместо последней можно использовать импульс р = mх, где m - масса частицы. Закон движения можно записать в виде

ẋ = 1/m p. ṗ = -grad U(х). (4)

Формулы (4) представляют собой сокращенную запись системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Фазовым пространством здесь служит 6-мерное евклидово пространство, шесть компонент вектора фазовой скорости суть компоненты обычной скорости и силы, а проекция фазовой траектории на пространство х_i (параллельно пространству импульсов) есть траектория частицы в обычном смысле слова.

В ряде случаев оказывается, что невозможно установить такое соответствие между всеми состояниями Д. с. и точками евклидова пространства, к-рое обладало бы желаемыми свойствами, однако такое соответствие можно установить локально, т. е. для состояний, к-рые достаточно близки друг к другу. Сохраняя термин «фазовое пространство» для совокупности всех состояний Д. с, можно сказать, что в общем случае фазовое пространство является не евклидовым пространством, а нек-рым дифференцируемым многообразием W^m. Локально, т. е. в любой карте (локальной системе координат) многообразия W^m, движение Д. с. описывается системой дифференциальных уравнений вида (1). Глобальное же (т. е. пригодное для всех состояний Д. с.) и инвариантное (т. е. не зависящее от выбора карты) описание движения дается уравнением (3), в к-ром f является заданным на W^m векторным полем, сопоставляющим каждой точке w вектор f(w), лежащий в касательном пространстве к многообразию в этой точке; уравнение (3) означает, что в процессе движения фазовая точка, совпадающая в данный момент времени с точкой w ∈ W^m, имеет в этот момент скорость f(w). В локальных координатах вектор f(w) представляется посредством своих компонент (2), и (3) сводится к (1).

Даже во многих случаях, когда фазовое пространство является евклидовым, часть движений рассматриваемой Д. с. может описываться посредством векторного поля на нек-ром инвариантном многообразии W, т. е. подмногообразии фазового пространства, обладающем тем свойством, что траектория, проходящая через к.-н. точку w ∈ W, целиком лежит в W. Так, уже в предыдущем примере, если ограничиться движениями с определенным значением энергии Е, нужно рассматривать систему (4) не во всем 6-мерном евклидовом пространстве переменных (х, р), а на его 5-мерном подмногообразии, выделяемом уравнением

p²/2m + U(x) = E,

где p² = p²₁ + p²₂ + p²₃. Инвариантность этого многообразия отражает тот факт, что при движении частицы в потенциальном поле ее энергия сохраняется, т. е. р²/2m + U(х) является первым интегралом системы (4) (так наз. интеграл энергии). Много аналогичных примеров связано с циклическими координатами.

Примером Д. с. с неевклидовым фазовым пространством является твердое тело с неподвижной точкой О. Если ввести две ортогональные системы координат с началом в О - одну неподвижную, а другую жестко связанную с телом, то очевидно, что положение твердого тела будет характеризоваться расположением второй системы координат относительно первой, т. е. ортогональной матрицей 3-го порядка с определителем 1 (или к.-н. эквивалентным способом, см. Эйлеровы углы, Кэли-Клейна параметры). Поэтому совокупность всевозможных положений данной механич. системы (или, как говорят, ее конфигурационное пространство) есть специальная ортогональная группа 3-го порядка SO(3). Фазовым же пространством W⁶ является касательное расслоение группы SO(3), ибо скорость изменения положения характеризуется касательным вектором к SO(3). В качестве локальных координат в SO (3) (выбор таковых автоматически определяет и нек-рые локальные координаты в W⁶) обычно принимают углы Эйлера; тогда уравнения движения записываются как Эйлера уравнения (движения твердого тела).

Изложенная выше кинематич. интерпретация автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) [или картина движения фазовых точек в фазовом многообразии согласно уравнению (3)] никак не связана с тем, описывают ли эти уравнения к.-л. механич. систему. Поэтому термин «Д. с.» стал применяться в более широком смысле, означая произвольную физич. (скажем, радиотехнич.) систему, описываемую дифференциальными уравнениями вида (1) или (3), а затем - и просто систему дифференциальных уравнений: такого вида, безотносительно к ее происхождению. Среди всех Д. с. в этом расширенном смысле слова Д. с. механики выделяются нек-рыми специфич. свойствами; большинство из них относится к специальному классу гамильтоновых систем. (Однако в механике рассматриваются и системы, не входящие в этот класс, - таково, напр., большинство неголономных систем. В то же время гамильтоновы системы встречаются и в ряде вопросов физики.)

В этом смысле понятие Д. с. эквивалентно понятию автономной системы дифференциальных уравнений вида (1) или (3). Однако практически о Д. с. говорят тогда, когда речь идет о качественной картине поведения всех траекторий во всем фазовом пространстве (глобальная теория) или по крайней мере в нек-рой его части (локальная теория); в теории Д. с. особенно большое внимание уделяется поведению фазовых траекторий при неограниченном возрастании времени. Из отдельных же траекторий в теории Д. с. интересуются обычно теми, свойства к-рых могут в значительной степени влиять на качественную картину, хотя бы локальную. Сюда относятся равновесия положения (или особые точки), периодические траектории (см. также Предельный цикл), сепаратрисы.

Для системы двух уравнений вида (1) (m = 2) кинематич. интерпретация дает весьма наглядный и эффективный способ исследования, поскольку векторное поле f(w) и фазовые траектории могут быть практически изображены на фазовой плоскости. Уже в случае трех уравнений (m = 3) пришлось бы производить соответствующие построения в 3-мерном пространстве, что довольно затруднительно, а при m > 3 подобные практич. возможности вообще отпадают. Поэтому при m ≥ 3 (а в ряде случаев и при m = 2) роль кинематич. интерпретации состоит в использовании при исследовании дифференциальных уравнений геометрич. понятий, методов и языка, в той или иной степени обобщающих привычные из повседневной жизни геометрич. представления.

Уже сравнительно слабые предположения о векторном поле f(w) (напр., его дифференцируемость) гарантируют то, что для каждой точки w₀ ∈ W^m существует ровно одно решение w(t) уравнения (3), имеющее w₀ своим начальным значением: w(0) = w₀. Физически это соответствует тому, что при заданном законе движения (3) состояние системы в любой момент времени полностью определяется ее начальным состоянием. Вообще говоря, это решение может быть определено не для всех t, а лишь на нек-ром отрезке времени. В глобальной теории Д. с. делается дополнительное предположение, что при любом начальном значении соответствующее решение определено при всех t, тогда как в локальных вопросах обычно нецелесообразно делать к.-л. предположения о дальнейшем поведении тех траекторий, к-рые покидают рассматриваемую область фазового пространства.

При выполнении указанного предположения, если каждому w₀ ∈ W^m сопоставить то состояние, куда перейдет за время t фазовая точка, движущаяся согласно (3) и вышедшая при t = 0 из w₀, то получится нек-рое отображение S_t фазового пространства W^m в себя:

S_tw₀ = w(t),

где w(t) - решение (3) и w(0) = w₀. Отображения S_t образуют непрерывную однопараметрич. группу диффеоморфизмов фазового многообразия W^m [групповое свойство S_tS_s = S_t+s является следствием автономности системы (3)]. В порядке иллюстрации в литературе нередко проводят аналогию с известным из повседневной жизни и ранее всего изученным в науке примером, где возникает подобное семейство преобразований пространства,- стационарным течением жидкости или газа: за время t частица жидкости перетекает из точки w₀ в S_tw₀. (Впрочем, эта аналогия довольно поверхностна, ибо воображаемая «фазовая жидкость», «текущая» в фазовом пространстве, отличается от реальных сплошных, сред отсутствием взаимодействия между соседними частицами.) В связи с этим в качестве синонима термина «Д. с.» употребляется термин поток.

В физич. литературе принято говорить об а н с а м б-ле динамических систем. Это означает, что каждому из возможных состояний данной физич. системы (т. е. каждой точке фазового пространства) мысленно сопоставляется нек-рая физич. система, описываемая уравнением (3) и находящаяся в этом состоянии; полученную совокупность однотипных систем (никак не взаимодействующих друг с другом), различающихся только состояниями, к-рыми они обладают в данный момент, и называют «ансамблем». На этом языке преобразованиям S_t фазового пространства соответствует эволюция «ансамбля», заключающаяся в изменении состояния входящих в него систем.

При разработке глобальных аспектов теории Д. с. понятие Д. с. подверглось дальнейшему обобщению. В наиболее широком смысле под динамической системой понимают произвольное действие группы (или даже полугруппы) G на нек-ром множестве W, именуемом фазовым пространством. Это значит, что для любого g ∈ G определено отображение S_g: W → W, причем S_g1S_g2 = S_g1g2, и если е - единица G, то S_e - тождественное преобразование (т. е. S_e(w) = w для всех w). Совокупность точек S_g(w₀), где w₀ фиксировано, a g пробегает G, наз. траекторией (или орбитой), проходящей через точку w₀, или, короче, траекторией этой точки. Группа G обычно считается топологической группой, фазовое пространство - топологическим пространством, или пространством с мерой, а отображение

G × W → W, (g, w) → S_g(w) (5)

предполагается, соответственно, непрерывным или измеримым, причем в последнем случае обычно предполагается, что отображения S_g сохраняют меру (т. е. прообраз измеримого подмножества фазового пространства измерим и имеет ту же меру). Соответствующие направления в теории Д. с. наз. топологической динамикой (см. [6], [11]) и эргодической теорией (см. [4], [5], [7], [12]). Если G-группа Ли, W - гладкое многообразие, а отображение (5) гладкое, то говорят о гладкой динамической системе.

Впрочем, во всех трех направлениях основными являются случаи, когда G - либо группа ℝ действительных чисел, и тогда Д. с. наз. потоком (хотя иногда этот термин употребляют как синоним термина «Д. с.» в наиболее общем его значении), либо G - группа ℤ целых чисел (вариант: аддитивная полугруппа неотрицательных целых чисел), и тогда для таких Д. с. был предложен термин каскад (говорят также о динамической системе с дискретным временем, но этот термин может означать также и только то, что в G берется дискретная топология). Гладкий поток, для к-рого отображение (5) - класса С², определяется гладким векторным полем

f(w) = d/dt S_t(w)|_t=0

- при изменении t точка w = S_t(w₀) движется согласно(3). В случае каскада отображения S_n получаются итерированием преобразования S₁ и обратного к нему (вариант: итерированием одного только отображения S₁); для гладкого каскада все S_h суть диффеоморфизмы (вариант: непрерывно дифференцируемые отображения).

Среди названных трех направлений в теории Д. с. топологич. динамика имеет ярко выраженный теоретико-множественный характер, а ее роль вначале была как бы вспомогательной. Дело в том, что обсуждение ряда понятий (неблуждающая точка, предельное множество траекторий, минимальное множество, почти периодичность, дистальность, устойчивость по Лагранжу, устойчивость по Пуассону и др.) и связей между ними, важных для трактовки более конкретных объектов - гладких Д. с.,- целесообразно провести в более абстрактной обстановке, отвлекаясь от задания Д. с. при помощи диффеоморфизма или уравнения (3). Это и делается в топологич. динамике. Позднее она получила значительное развитие, главным образом, в направлении изучения нек-рых минимальных множеств и их расширений (см. [13]-[15]; а также Дистальная динамическая система).

Зарождение эргодич. теории связано с классич. (доквантовой) статистич. физикой. При обосновании последней возник вопрос, можно ли, не решая гамильтонову систему дифференциальных уравнений, к-рая описывает движение частиц, образующих рассматриваемое макроскопич. тело, и даже не зная начальные значения для ее решения (что означало бы задание мгновенных положений и скоростей всех этих частиц), указать свойства статистич. характера, проявляющиеся в поведении при t → ∞ всех или почти всех ее фазовых траекторий. Напр., существует ли при почти всех w предел переменного среднего

(6)

где g(w) есть функция, заданная на фазовом пространстве, и зависит ли этот предел от w? Приведенное выше определение Д. с, принятое в эргодич. теории, является результатом абстрагирования от конкретного происхождения систем статистич. физики, в частности от их гамильтоновой структуры; от последней удерживается лишь одно из ее следствий - сохранение меры при преобразованиях S_t. В данном случае такое абстрагирование служит не только для логич. анализа понятий, но и приводит к значительному увеличению общности теории, позволяя включить в нее разнообразный материал, связанный с теорией вероятностей, функциональным анализом, теорией чисел, топологич. алгеброй. Наличие связей с рядом разделов математики делает содержание эргодич. теории достаточно богатым, чтобы обеспечить ее успешное развитие в качестве самостоятельной научной дисциплины. Наряду с изучением статистики решений при t → ∞, включающим как доказательство существования предела (6) при почти всех w и вывод условий, необходимых при его независимости от w, так и ряд других свойств (например, перемешивание), большую роль в эргодической теории играет проблема изоморфизма Д. с, исследование которой привело к построению ряда инвариантов Д. с. и выделению некоторых классов Д. с. с интересными свойствами.

Теория гладких Д. с. (см. [7], [8], [10]) в значительной степени сливается с качественной теорией дифференциальных уравнений, в особенности когда речь идет о конкретно заданной системе (1) или когда (независимо от способа задания изучаемой Д. с.) существенно используются соображения, относящиеся к выписанным в более или менее явном виде дифференциальным уравнениям. Гладкие Д. с. исследуются и локально, и глобально. К числу локальных свойств относятся: исследование положений равновесия и других упомянутых выше специальных типов траекторий для потоков и их аналогов для каскадов, квазипериодических движений и инвариантных многообразий для тех и других, а также и нек-рых классов инвариантных множеств. Исследование этих объектов включает в себя их обнаружение и локализацию, а также изучение в их окрестности поведения других траекторий Д. с. При исследовании неподвижных точек каскадов, положений равновесия и периодич. решений потоков применяются как аналитические, так и топологич. методы (см. [2], [3], [9]); для других объектов - только аналитические. Многие из этих методов связаны со следующей постановкой вопроса (или в равной степени применимы при ней): что происходит с потоком или каскадом, имеющим определенные свойства (локальные или глобальные) при малом изменении определяющего его векторного поля или диффеоморфизма? К такому подходу примыкают также и нек-рые из результатов и понятий глобальной теории, в особенности связанные со стремлением выделить такие свойства или классы Д. с, к-рые были бы в нек-ром смысле «типичными» (см., напр., Грубая система). Другие результаты глобального характера относятся к определенным классам Д. с, зачастую возникшим из смежных дисциплин.

В специальном случае потоков на двумерных поверхностях можно получить более или менее удовлетворительную информацию о могущих здесь представиться различных вариантах поведения фазовых траекторий; это особенно относится к системам (1) с m = 2 (два уравнения) (теория Пуанкаре - Бендиксона, см. [1]-[3], [9]) и потокам без неподвижных точек на торе (см. [2], [9], [10]). Однако при этом остается открытым вопрос, как именно ведут себя траектории той или иной конкретной системы. Большое число работ посвящено исследованию последнего вопроса для различных классов уравнений. Особое положение потоков на двумерных поверхностях связано с тем, что в этом случае траектория локально разбивает фазовое пространство. Поэтому естественное многомерное обобщение соответствующей теории относится не к Д. с, а к слоениям коразмерности 1.

Лит.: [1] Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949; [2] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958, гл. 13-17; [3] Лефшец С, Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961; [4] Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959; [5] «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 5, с. 3-172; [6] Gоttsсhаlk W. H., Hedlund G. A., Topological dynamics, Providence, 1955; [7] Arnold V. I., Avez A., Problemes ergodiques de la mécanique classique, P., 1967; [8] Смeйл С, «Успехи матем. наук», 1970, т. 25, в. 1, с. 113-85; [9] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [10] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975; [11] Сибирский К. С., Введение в топологическую динамику, Киш., 1970; [12] Синай Я. Г., Введение в эргодическую теорию, Ер., 1973; [13] Бронштейн И. У., Расширения минимальных групп преобразований, Киш., 1975; [14] Ellis R., Lectures on topological dynamics, N.Y., 1969; [15] Veech W. A., «Bull. Amer. Math. Soc.», 1977, v. 83, № 5, p. 775-830.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.