ДИКСОНА ИНВАРИАНТ

ДИКСОНА ИНВАРИАНТ - конструкция, используемая при изучении квадратичных форм над полями характеристики 2, позволяющая, в частности, вводить аналоги специальной ортогональной группы над такими полями. А именно, Д. и. есть элемент D(u) произвольного поля k характеристики 2, сопоставляемый всякому подобию и четномерного векторного пространства Е над k относительно симметрической билинейной формы f, ассоциированной с невырожденной квадратичной формой Q на Е. Д. и. введен Л. Диксоном [1].

В силу условия на характеристику поля форма f является знакопеременной, и в Е существует базис е₁, ..., e_2s, для к-рого

f(e_i, e_j) = f(e_s+i, e_s+j) = 0, f(e_i, e_s+j) = δ_ij

при 1 ≤ i ≤ s, 1 ≤ j ≤ s (см. Витта разложение). Пусть

f(u(x), u(y)) = α(u) f(x, у)

для любых векторов х и у из Е, и пусть для каждого i= 1, ..., s

Тогда элемент из k вида

D(и) = ∑_i,j (Q(e_i)a_ijc_ij + Q(e_s+i)b_ijd_ij + b_ijc_ij)

наз. инвариантом Диксона подобия u относительно базиса е₁, ..., e_2s. Для того чтобы u было подобием относительно Q с коэффициентом подобия α(u) [т. е. Q(u(x)) = α(u)Q(x) для любого вектора х ∈ Е], необходимо и достаточно, чтобы D(u) = 0 или D(u) = α(u). Подобия u относительно Q, для к-рых D(u)=0, наз. прямыми подобиями. Прямые подобия образуют в группе всех подобий относительно Q нормальный делитель индекса 2.

Если Q₁ - форма, определяемая равенством Q₁(х) = Q(u(х)) для любого вектора х ∈ Е, а Δ(Q) и Δ(Q₁) - псевдодискриминанты этих форм относительно базиса е₁, ..., e_2s, т. е.

Δ(Q) = Q(e₁) Q(e_s+1) + ... + Q(e_s) Q(e_2s),

Δ(Q₁) = Q₁(e₁) Q₁(e_s+1) + ... + Q₁(e_s) Q₁(e_2s)

то

Δ(Q₁) = (α(u))²Δ(Q) + (D(u))² + α(u)D(u).

Лит.: [1] Dickson L. E., Linear Groups..., Lpz., 1901; [2] Буpбаки H., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974.

В. Л. Попов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.