ДИЕЗНАЯ ФОРМА

ДИЕЗНАЯ ФОРМА - r-мерная дифференциальная форма со в открытом подмножестве R ⊂ Eⁿ такая, что конечны комасса |ω]₀ икомассовая константа Липшица

ℒ₀(ω) = sup-|ω(p) - ω(q)|/|p - q|

где p, q ∈ R и |p - q| - длина вектора p - q. Диезной нормой формы ω наз. число

|ω|^# = sup {|ω|₀, (r + 1) ℒ₀(ω)}.

Теорема Уитни. Каждой r-мерной диезной коцепи X в R соответствует единственная r-мерная Д. ф. ω_X, Для которой

Xσ^r = ∫_σ^rω_X

для всех r-мерных ориентированных симплексов σ^r; ω(р) определяется формулой

ω_X(p) = lim Xσ_i/|σ_i|,

где σ₁, σ₂, ...- последовательность расположенных в одной и той же плоскости симплексов, содержащих точку р, диаметры к-рых → 0. Это соответствие является взаимно однозначным линейным отображением пространства коцепей C^#r(R) в пространство Ω^#r Д. ф., причем:

|ω_X|₀ = |X|, т. е. комассе X;

ℒ₀(ω_X) = ℒ(X), т. е. константе Липшица А;

|ω_X)^# = |Х|^#, т. е. диезной норме X;

Ω^#r является банаховым пространством.

В частности, нульмерным диезным коцепям соответствуют диезные функции - ограниченные функции, удовлетворяющие условию Липшица.

Пространство C^#_r(R) r-мерных диезных цепей А конечной массы |А| с диезной нормой |A|^# изоморфно пространству Г^#_r(Eⁿ) аддитивных функций множества, значениями к-рых являются r-векторы γ, наделенному

диезной нормой ^#; это соответствие определяется формулой:

ХA = ∫_Еⁿ ω_X dγ_A = [ω ⋅ γ] (Еⁿ) (*)

для любой коцепи X, где ω_X есть r-мерная Д. ф., соответствующая коцепи X, и имеет место:

γ_A(Еⁿ) = {А}, т. е. ковектор γ цепи А, |А| = |γA|, т.е. полной вариации γ_A,

|γ_A|^# = |A|^#, т. е. диезной норме цепи А.

Таким образом, (*) является обобщением обычного интеграла Лебега-Стилтьеса. В частности, для А тогда и только тогда существует измеримая по Лебегу суммируемая функция α(р), ассоциированная с А (см. Бемольная форма), то есть

Х ⋅ А = ∫_Еⁿ ω_X ⋅ α(p) dp

для любой коцепи X, если γ_A абсолютно непрерывна.

Если ω_A - регулярная форма, X - диезная коцепь, то существует форма ω_dX = dω_X и имеет место формула Стокса

∫_∂σ ω_X = ∫_σ dω.

Аналогично обобщаются и другие результаты, установленные для регулярных форм.

Лит. см. при статье Бемольная форма.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.