ДИЕЗНАЯ НОРМА

ДИЕЗНАЯ НОРМА в пространстве r-м е р-ных полиэдральных цепей С_к(Еⁿ) - наибольшая из полунорм |⋅|', удовлетворяющих для любой клетки σ^r объема |σ^r| неравенствам:

|σ^r|' ≤ |σ^r|,

|∂σ^r+1|' ≤ |σ^r+1|,

|T_vσ^r - σ^r| ≤ |σ|^r |v|/(r + 1),

где T_vσ^r - клетка, полученная сдвигом на вектор v длины |v|.

Если A = Σа_iσ^r_i, то Д. н. |А|^* выражается так:

где |C| - бемольная норма цепи С. Имеет место:

Пополнение пространства С_r(Еⁿ) является сепарабельным банаховым пространством С^#_r(Еⁿ), элементы к-рого наз. r-мерными диезными цепями. Для любой r-мерной полиэдральной цепи А и любого вектора v имеет место

где T_vA - цепь, полученная сдвигом А на вектор v длины |v|. Бемольная цепь конечной массы является диезной цепью; вообще любую бемольную цепь можно рассматривать и как диезную цепь в таком

смысле: если А = lim А_i, где А_i - полиэдральные цепи, и ψA = lim^# A_i, где ψ - линейное биективное отображение пространства C_r(Еⁿ) в пространство С^#_r(Еⁿ), и ψC_r плотно в С^#_r при Д. н.

Дать корректное определение границы ∂А диезной цепи невозможно (см. [1], с. 242, пример (с)); r-мерная диезная коцепь Х = ХА есть элемент пространства С^#r(Еⁿ), сопряженного к С^#_r(Eⁿ), она является бемольной коцепью, причем

|Х| ≤ |Х| ≤ |Х|^#, где \Х\ - к о м а с с а А, а диезная конорма |Х|^# определяется аналогично бемольной норме |Х|. Кограница dX диезной коцепи не обязана быть диезной ([1], с. 241, пример (а)), однако

|dX| ≤ |X| ≤ |X|^#.

Константа Липшица ℒ(Z) коцепи X определяется следующим образом:

где А - полиэдральные цепи. Для диезных коцепей эта верхняя грань конечна и

(r + 1) ℒ(Х) ≤ |X|^#.

Любая бемольная коцепь с конечной константой Липшица является диезной, причем

|X|^# = sup{|X|, (r + 1) ℒ(X)}, и, кроме того,

|dX| ≤ (r + 1) ℒ(Х).

Аналогичные понятия вводятся для r-мерных полиэдральных цепей в открытых подмножествах R ⊂ Eⁿ. См. также Диезная форма.

Диезная норма в пространстве аддитивных функций γ, значениями к-рых являются r - векторы,- наибольшая из полунорм |⋅|', удовлетворяющих условиям:

|γ|' ≤ |γ|, где |γ| - полная вариация γ; |T_vγ - γ|' ≤ |v| |γ| / (r + 1),

где T_vγ(Q) = γT_-v{Q) - сдвиг функции γ на вектор v длины |v|:

T(Q) = {q - v, q ∈ Q ⊂ Eⁿ};

для каждой точки р и любого ε существует η > 0 такое, что |γ|' ≤ ε|γ|, если носитель sp tγ ⊂ U_η(p) и γ(Еⁿ) = 0.

Д. н. |γ|^# имеет представление

|γ|^# = sup_ω ∫_Eⁿ ω dγ,

где ω - r-мерные диезные формы, для к-рых |ω|^# ≤ 1.

Лит. см. при статье Бемольная норма.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.