НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ДИАГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

ДИАГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР - оператор D, определенный на линейной оболочке базиса {ek}k≥1 в нормированном (или только локально выпуклом) пространстве X равенствами Dek = λkek, k ≥ 1, λk - комплексные числа. Если D - непрерывный оператор, то

supk≥1k| < +∞;

если X - банахово пространство, то это условие в том и только в том случае равносильно непрерывности D, когда {ek}k≥1 - безусловный базис в X. Если

{ek}k≥1 - ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н, то D - нормальный оператор, причем ||D|| = supk≥1k|, а спектр D совпадает с замыканием множества {λk; k = 1, 2, ...}. Нормальный и вполне непрерывный оператор N является Д. о. в базисе своих собственных векторов; сужение (даже нормального) Д. о. на его инвариантное подпространство не обязательно, вообще говоря, будет Д. о.; любой нормальный оператор N в сепарабельном пространстве Н при любом ε > 0 может быть представлен в виде N = D + C, где D - Д. о., С - вполне непрерывный оператор и ||С|| < ε.

Д. о. в широком смысле слова - это оператор D умножения на комплексную функцию λ в прямом интеграле гильбертовых пространств

H = ∪M ⊕ H(t) dμ(t),

т. е.

(Df)(t) = λ(t)f(t), t ∈ M; f ∈ H.

См. Диагонально клеточный оператор.

Лит.: [1] Singerl., Bases in Banach spaces, v. I, В., 1970; [2] Wermer J., «Рrос. Amer. Math. Soc.», 1952, v. 3, № 2, p. 270-77; [3] Berg I, D., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1971, v. 160, p. 365-71.

H. К. Никольский, Б.С.Павлов.


Источники:

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru