ДИАГОНАЛИЗИРУЕМАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА

ДИАГОНАЛИЗИРУЕМАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГРУППА - аффинная алгебраич. группа G, изоморфная замкнутой подгруппе алгебраического тора. Таким образом, G изоморфна замкнутой подгруппе мультипликативной группы всех диагональных матриц нек-рого фиксированного порядка. Если G определена над полем k и указанный изоморфизм определен над k, то Д. а. г. G наз. разложимой (или расщепимой) над k.

Всякая замкнутая подгруппа H в Д. а. г. G, а также образ G при любом рациональном гомоморфизме φ являются Д. а. г. Если к тому же группа G определена и разложима над полем k, а φ определен над k, то и H и φ(G) определены и разложимы над k.

Д. а. г. G разложима над k тогда и только тогда, когда каждый элемент из группы Ĝ всех ее рациональных характеров является рациональным над k. В случае, если в Ĝ нет неединичных рациональных над k элементов, Д. а. г. G наз. анизотропной над k. Всякая Д. а. г. G, определенная над полем k, разложима над нек-рым конечным сепарабельным расширением поля k.

Д. а. г. G связна тогда и только тогда, когда она является алгебраич. тором. Связность G эквивалентна также отсутствию кручения в группе G. Для произвольной Д. а. г. G, определенной над k, группа G является конечно порожденной абелевой группой, не имеющей р-кручения, где р - характеристика поля k.

Произвольная определенная и разложимая над полем к Д. а. г. G является прямым произведением конечной абелевой группы и алгебраич. тора, определенного и разложимого над k. В любой связной определенной над полем к Д. а. г. G имеется наибольший анизотропный подтор G_a и наибольший разложимый над k подтор G_d, для которых G - G_aG_d и G_a ∪ G_d - конечное множество.

Если Д. а. г. G определена над полем k и Г - группа Галуа сепарабельного замыкания поля k, то G снабжается непрерывным действием группы Г. Если при этом φ: G → H - рациональный гомоморфизм двух Д. а. г., причем G, Н и φ определены над полем k, то индуцированный φ гомоморфизм φ: H → G является Г-эквивариантным (т. е. является гомоморфизмом Г-модулей). Возникающий таким образом контравариантный функтор из категории диагонализируемых k-групп и их k-морфизмов в категорию конечно порожденных абелевых групп без р-кручения с непрерывным действием группы Г и их Г-эквиварпантных гомоморфизмов оказывается эквивалентностью указанных категорий.

Лит.: [1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Опо Т., «Аnn. Math.», 1961, V. 74, № 1, р. 101 - 39.

В. Л. Попов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.