ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ

ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ, функция,- 1) Д.-ф. в теории чисел - класс аналитич. функций комплексного переменного, состоящий из ζ-функции Римана, ее обобщений и аналогов. Д.-ф. и их обобщения в виде L-функций (см. Дирихле L-функции) лежат в основе современной аналитич. теории чисел. Кроме ζ-функции Римана выделяются обобщенная Д.-ф. ζ(s, а), дзета-функция Дедекинда, конгруэнц Д.-ф. и др.

Дзета-функция Римана определяется рядом Дирихле

ζ(s) = 1/n^s, s = σ +it, (1)

абсолютно и равномерно сходящимся в любой конечной области комплексной s-плоскости, для к-рой σ ≥ 1 + δ, δ > 0. При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера

ζ(s) = ∏_p(1 - 1/p^s)^-1,

где р пробегает все простые числа.

Тождественность ряда (1) и произведения (2) представляет собой одно из основных свойств функции ζ(s). Оно позволяет получить многочисленные соотношения, связывающие ξ(s) с важнейшими теоретико-числовыми функциями. Так, при σ > 1

где π(х) - число простых чисел ≤ x, Λ(n) - Мангольдта функция, μ(n) - Мёбиуса функция, τ(n) - число делителей числа n, ν(n) - число простых делителей числа n, λ(n) - Лиувилля функция. Отсюда та исключительная роль, к-рую играет ζ(s) в теории чисел. Как функция действительного переменного, ζ(s) была введена в 1737 Л. Эйлером (L. Euler, см. [1]), к-рый указал и ее разложение в произведение (2). Затем эта функция рассматривалась П. Дирихле (P. Dirichlet) и, особенно успешно, П. Л. Чебышевым (см. [2]) в связи с изучением закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства функции ζ(s) были обнаружены позднее, когда ее стали рассматривать как функцию комплексного переменного. Первым это сделал в 1876 Б. Риман (В. Riemann, см. [3]), к-рый показал следующее.

а) ζ(s) допускает аналитич. продолжение на всю комплексную s-плоскость в виде

π^-s/2 Г(s/2) ζ = 1/(s(s-1)) + (x^{s/2 - 1} + x^{(1-s)/2 - 1})θ(x) dx. (3)

где Г(ω) - гамма-функция,

θ(x) = ехр(-πn²x).

б) ζ(s) является регулярной функцией для всех значений s, кроме s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1, и удовлетворяет функциональному уравнению

π^-s/2 Г(s/2) ζ(s) = π^-(1-s)/2 Г((1-s)/2) ζ(1 - s) (4)

Это уравнение наз. функциональным уравнением Римана. Для функции

введенной Б. Риманом для исследования Д.-ф. и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид

ξ(s) = ξ(1 - s),

а если положить

Ξ(t) = ξ(1/2 + it).

то оно принимает вид

Ξ(t) = Ξ(-t).

Последняя функция Ξ замечательна тем, что она является четной целой функцией, действительной для действительных t, и ее нули на действительной оси соответствуют нулям функции ζ(s) на прямой σ = 1/2.

в) Поскольку ζ(s) ≠ 0 для σ > 1, то в силу (4) в полуплоскости σ > 0 эта функция имеет лишь простые нули в точках s = 2ν, ν = 1, 2, ... Эти нули наз. тривиальными нулями Д.-ф. ζ(s). Далее ζ(s) ≠ 0 для 0 < s < 1. Таким образом, все нетривиальные нули Д.-ф. ζ(s) являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно действительной оси t = 0 и относительно вертикали σ = 1/2 и лежат в полосе 0 ≤ σ ≤ 1, к-рая наз. критической полосой.

Б. Риман высказал также следующие гипотезы.

1. Число N(T) нулей функции ζ(s) в прямоугольнике 0 ≤ σ ≤ 1, 0 < t < T, выражается формулой

N(T) = 1/2π T ln T + (1 + ln 2π)/2π T + O(ln T).

2. Пусть ρ пробегает нетривиальные нули ζ(s). Тогда ряд ∑|ρ|^-2 сходится, а ряд ∑|ρ|^-1 расходится.

3. функция ξ(s) представима в виде

ae^bs ∏_ρ(1 - s/ρ)e^s/ρ.

4. Пусть

P(x) = ∑_n≤x Λ(n)/ln n, P₀(x) = 1/2[P(x + 0) + P(x - 0)].

Тогда при х ≥ 1

P₀(x) = li x - ∑_ρ li x^ρ + du/((u² - 1) ln u) - ln 2, (5)

где li x - интегральный логарифм,

5. Все нетривиальные нули Д.-ф. ζ(s) лежат на прямой σ = 1/2.

После Б. Римана проблема значений и, в частности, нулей Д.-ф. приобрела широкую известность и ей посвящено большое число исследований. Гипотезы Римана 2 и 3 были доказаны Ж. Адамаром (J. Hadamard, 1893), причем оказалось, что в гипотезе 3 а = 1/2, b = ln 2 + 1/2 ln π - 1 - C/2. где С - Эйлера постоянная; гипотезы 1 и 4 доказаны X. Мангольдтом (Н. Mangoldt, 1894), к-рый, кроме того, получил, для простых чисел, следующий важный аналог формулы 5. Если

Ψ(x) = ∑_n≤x Λ(n), Ψ₀(x) = 1/2 [Ψ(x + 0) + Ψ(x - 0)].

то при х ≥ 1

Ψ₀(x) = x - ∑_ρ x^ρ/ρ - ζ'(0)/ζ(0) - 1/2 ln (1 - 1/x²),

где ρ = βl + iγ пробегает нетривиальные нули ζ(s), а символ ∑_ρ x^ρ/ρ означает предел суммы ∑_γ≤T x^ρ/ρ при T → -∞. Эта формула, как и формула (5), показывает, что проблема распределения простых чисел в натуральном ряду тесно связана с расположением нетривиальных нулей функции ζ(s).

Последняя гипотеза 5 не доказана и не опровергнута. Это - знаменитая Римана гипотеза о нулях Д.-ф.

Функция ζ(s) однозначно определяется своим функциональным уравнением. Точнее (см. [4]), любая функция, представимая обыкновенным рядом Дирихле и удовлетворяющая уравнению (4), при довольно широких условиях относительно ее регулярности, совпадает с ζ(s) с точностью до постоянного множителя.

При

χ(s) = π^s-1/2 Г((1-s)/2)/Г(s/2)

и постоянном h > 0 для 0 < σ < 1, x > h, y > h, 2πxy = |t| имеет место приближенное функциональное уравнение

ζ(s) = ∑_n≤x 1/n^s + χ(s) ∑_n≤y 1/(n^1-s) + O(x^-σ) + O(|t|^1/2-σy^σ-1), (6)

полученное X. Харди (Н. Hardy) и Дж. Литлвудом (J. Littlewood) в 1920 (см. [4]). Это уравнение играет значительную роль в современной теории Д.-ф. и ее приложениях. Существуют общие методы получения такого рода результатов не только для класса Д.-ф., но и вообще функций Дирихле, обладающих функциональным уравнением риманова типа (3). Наиболее совершенный из них указан в [5]; в случае ζ(s) он приводит, при любом τ с |arg τ| < π/2, к соотношению

где Г(z, х) - неполная гамма-функция; при

τ = Δ² ехр [i(π/2 - 1/|t|) sign t], Δ > 0

получается приближенное уравнение (6); при τ = 1 это соотношение совпадает с исходной формулой (3).

Главной проблемой в теории Д.-ф. является проблема расположения ее нетривиальных нулей и вообще значений в области 1/2 ≤ σ ≤ 1. К числу основных направлений в исследованиях Д.-ф. относятся: определение возможно более широкой области слева от прямой σ = 1, где ζ(s) ≠ 0; проблема порядка и средних значений Д.-ф. в критич. полосе; оценки числа нулей Д.-ф. на прямой σ = 1/2 и вне этой прямой и т. д.

Первый нетривиальный результат о границе нулей Д.-ф. был получен Ш. Ж. Балле Пуссеном (Ch. J. La Vallée-Poussin) в 1896; он показал, что существует такая постоянная А > 0, что

ζ(s) ≠ 0 при σ ≥ 1 - A/(ln^α(|t| + 2)) с α ≥ 1. (7)

Дальнейшие продвижения в этом направлении связаны с приближенным уравнением (6) и развитием методов оценок тригонометрич. сумм.

Самый мощный метод оценок такого рода принадлежит И. М. Виноградову (см. Виноградова метод). Последняя (к 1978) граница области, свободной от нулей Д.-ф., получена И. М. Виноградовым в 1958 (см. [7]). Она имеет вид (7) с α > 2/3. Для простых чисел ей соответствует формула

π(х) = li х + O(хе^{-B ln3/5 x}).

Существует определенная связь между ростом модуля функции ζ(s) и отсутствием нулей в окрестности прямой σ = 1. Так, результат (7) с α > 2/3 является следствием оценок

ζ(1 + it) = О(ln^2/3 |t|), 1/(ζ(1+it)) = O(ln^2/3 |t|), |t| > 2.

С другой стороны, известно (см. [4]), что

и, если верна гипотеза Римана, то эти пределы, соответственно, не больше, чем 2е^C 12/(π² e^C).

Порядок дзета-функции в критической полосе есть число η(σ), означающее нижнюю границу таких чисел ν, что ζ(σ + it) = O(|t|^ν).

При σ > 1, ι(σ) = 0, а при σ < 0 имеет место ι(σ) = 1/2 - σ.

Точные значения функции ι(σ) для 0 ≤ σ ≤ 1 неизвестны. Простейшее предположение - Линделёфа гипотеза - состоит в том, что

η(σ) = 1/2 - σ при σ ≤ 1/2 и η(σ) = 0 при σ > 1/2.

Это эквивалентно утверждению, что

ζ(1/2 + it) = O(|t|^ε) для любого ε > 0. (8)

При σ > 1/2 справедлива оценка ζ(σ + it) = O(|t|^(1-σ)/2).

Последняя известная (к 1978) оценка ζ(s) на прямой σ = 1/2 (см. [4]) далека от ожидаемой оценки (8); она имеет вид

ζ(1/2 + it) = O(|t|^15/32+ε).

Проблема среднего значения дзета-функции состоит в определении свойств функции

1/T |ζ(σ + it)|^2k dt

при Т → ∞ для любого заданного σ и k = 1, 2, ... Результаты имеют приложения при изучении проблемы нулей Д.-ф. и непосредственно в теории чисел. Доказано, что (см. [4])

1/T |ζ(1/2 + it)|² dt = ln T + 2C - 1 - ln 2π + O(ln T/√T), 1/T |ζ(1/2 + it)|⁴ dt = ln⁴T/2π² + O(ln³T).

При σ > 1/2 (см. [4])

lim_T→∞ 1/T |ζ(σ + it)|² dt = |ζ(2σ)|, lim_T→∞ 1/T |ζ(σ + it)|⁴ dt = ζ⁴(2σ)/ζ(4σ).

В случаях k > 2 известно только, что при σ > 1 - 1/k

lim_T→∞ 1/T |ζ(σ + it)|^2k dt = τ²_k(n)/n^2σ,

где τ_k(n) - число представлений n в виде k целых положительных сомножителей, и что асимптотич. соотношение

lim_T→∞ 1/T |ζ(σ + it)|^2k dt ~ τ²_k(n)/n^2σ

для σ > 1/2 является эквивалентом гипотезы Линделёфа.

Важное место в теории Д.-ф. занимает проблема оценки функции N(σ, Т), означающей число нулей β + iγ функции ζ(s) при β > σ, 0 < γ ≤ Т. В основе современных оценок N(σ, Т) лежат теоремы о выпуклости средних значений аналитич. функций, применяемые к функции

f_X(s) = ζ(x)_n&#$8804;X μ(n)/n^s - 1.

Если для нек-рого Х = Х(σ, Т), T^1-l(σ) ≤ X ≤ T^A,

 |f_X(s)|² dt = O(T^l(σ) ln^mT)

при T → ∞ равномерно для σ ≥ α, где l(σ) - положительная невозрастающая функция с ограниченной производной, а m ≥ 0 - постоянная, то

N(σ, Т) = O(T^l(σ) ln^m+1T)

равномерно для σ ≥ α + 1/ln T.

Известно также, что если при r₁ ≤ 3/2

ζ(1/2 + it) = О(t^r ln^r₁t),

то равномерно для 1/2 ≤ σ ≤ 1,

N(σ, Т) = O(Т^{2(1+2r)(1-σ)} ln⁵T)

Эти два предложения позволили получить (см. [4]) следующие плотностные теоремы о нулях дзета-функции:

равномерно для σ ≥ 1/2

N(σ, Т) = O(T^{3(1-σ)3;)(2-σ)} ln⁵T), N(σ, T) = O(T^{1-1/4(σ-1/2)}),

с привлечением иных соображений в [8] получена плотностная теорема:

N(σ, Т) = O(T^5/2(1-σ) ln¹³T);

если справедлива гипотеза Линделёфа, то N(σ, Т) = O(T^2(1-σ)+ε).

О нулях дзета-функции на прямой σ = 1/2. По гипотезе Римана, все нетривиальные нули Д.-ф. лежат на прямой σ = 1/2. Тот факт, что на этой прямой Д.-ф. имеет бесконечно много нулей, впервые был доказан X. Харди в 1914 (см. [4]) на основе формулы Рамануджана

Последний результат принадлежит А. Сельбергу (A. Selberg, 1942; см. [4]): число N₀(T) нулей ζ(s), имеющих вид 1/2 + it, удовлетворяет неравенству

N₀(T) > AT ln Т, А > 0.

Это означает, что число нулей Д.-ф. на прямой σ = 1/2 имеет тот же порядок роста, что и число всех ее нетривиальных нулей:

N(T) ~ 1/2π T ln T.

Относительно нулей Д.-ф. на этой прямой известны и другого рода результаты. Приближенное функциональное уравнение позволяет фактически вычислить (с нек-рой степенью точности) значения ближайших к действительной оси нулей ζ(s). На основе этого метода на ЭВМ вычислены нули ζ(s) в прямоугольнике 0 ≤ σ ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1,6 ⋅ 10⁶. Их число равно 3,5 ⋅ 10⁶, и все они лежат на прямой σ = 1/2. Ординаты первых шести нулей с точностью до второго десятичного знака равны 14,13; 21,02; 25,01; 30,42; 32,93; 37,58.

Вообще, расстояние между соседними нулями ζ(s) оценивается теоремой Литлвуда (1924): для любого достаточно большого Т функция ζ(s) имеет такой нуль что

|γ - Т | < A/ln ln ln Т.

Обобщенная дзета-функция определяется для 0 < а < 1 рядом

ζ(s, a) = (n + a)^-s.

При а = 1 она обращается в дзета-функцию Римана. Аналитическое продолжение на всю плоскость осуществляется формулой

где интеграл берется по контуру L, представляющему собой путь из бесконечности по верхнему краю разреза положительной действительной оси до нек-рого фиксированного 0 < r < 2π, затем вдоль окружности радиуса r против часовой стрелки и снова в бесконечность по нижнему краю разреза. Функция ζ(s, а) регулярна всюду, кроме точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Она играет важную роль в теории L-функций Дирихле (см. [9], [10]).

Дзета-функция Дедекинда - аналог дзета-функции Римана для полей алгебраич. чисел, введенный Р. Дедекиндом (см. [11]).

Пусть K - поле алгебраических чисел степени n = r₁ + 2r₂ > 1, где r₁ - число действительных, r₂ - число пар комплексно сопряженных полей в k; пусть далее Δ - дискриминант, h - число классов дивизоров, R - регулятор поля k, g - число содержащихся в k корней из 1.

Дзета-функция Дедекинда ζ_k(s) поля k определяется рядом

ζ_k = ∑ 1/N^S,

где пробегает все целые отличные от нуля дивизоры поля k, N - норма дивизора . Этот ряд абсолютно и равномерно сходится при σ ≥ 1 + δ, δ > 0, определяя аналитич. функцию, регулярную в полуплоскости σ > 1.

При σ > 1 будет

ζ_k = f(m)/m^s,

где f(m) - число целых дивизоров поля k с нормой m, f(m) ≤ τ_n(m), τ_n(m) - число представлений т в виде п натуральных сомножителей.

При σ > 1 имеет место тождество Эйлера

где ℬ пробегает все простые дивизоры поля k.

Основные свойства дзета-функции Дедекинда (см. [11]).

1) ζ_k регулярна на всей комплексной плоскости,

кроме точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом

2^r₁ + ^r₂π^r₂hR/g√Δ.

2) ζ_k удовлетворяет функциональному уравнению

ξ_k(s) = ξ_k(1 - s),

где

3) При r = r₁ + r₂ - 1 > 0 в точке s = 0 функция ζ_k(s) имеет нуль порядка r; ζ_k(0) ≠ 0 при r = 0; в точках s = -2ν, ν = l, 2, ..., дзета-функция Дедекинда ζ_k(s) имеет нули порядка r + 1, в точках s = -2ν - 1 при r₂ > 0 - нули порядка r₂, а при r₂ = 0 не равна нулю. Это - тривиальные нули функции ζ_k(s).

4) Все остальные нули функции ζ_k(s) лежат в критич. полосе 0 ≤ σ ≤ 1.

Основная гипотеза состоит в том, что все нетривиальные нули функции ζ_k(s) находятся на прямой σ=1/2. Установлено, что ζ_k(s) не имеет нулей на прямой σ = 1. Более того, существует абсолютная положительная постоянная А и зависящая от параметров поля k постоянная λ, обладающие тем свойством, что

ζ_k(s) ≠ 0 при σ ≥ 1- A/(n ln |t|), |t| > λ.

Вообще, в случае фиксированных параметров поля k для ζ_k(s) имеют место многие результаты, аналогичные результатам для дзета-функции Римана. Однако в общем случае теория дзета-функции Дедекинда сложнее, поскольку она включает в себя и теорию Дирихле L-функций. Так, неизвестно (1978), имеют ли дзета-функции Дедекинда действительные нули между 0 и 1. Точная зависимость между дзета-функцией Дедекинда и L-рядами рационального поля имеет следующий вид. Пусть k^* - минимальное поле Галуа, к-рому принадлежит k, Q - группа Галуа поля k^*, h - число классов группы Q, χ_i - простые характеры группы Q, 1 ≤ i ≤ h. Тогда

где ζ(s) - дзета-функция Римана, L суть L-ряды Артина, с_i = c_i(k) - целые положительные числа, к-рые определяются свойствами относительной группы Галуа поля k^*. В частности, если k - круговое расширение, то k^* = k, h = φ(n), c_i = 1, и L-ряды Артина становятся обычными L-рядами Дирихле.

Наряду с дзета-функцией Дедекинда ζ_k(s) рассматриваются и ζ_k(s; H_j) - дзета-функции Дедекинда класса дивизоров H_j поля k. Эти функции определяются теми же рядами, что и ζ_k(s) но только пробегает не все, а лишь целые дивизоры, к-рые принадлежат заданному классу H_j. Функции ζ_k(s, H_j) обладают свойствами, близкими свойствам ζ_k(s). Справедлива формула

Дзета-функции Дедекинда лежат в основе современной аналитич. теории дивизоров полей алгебраич. чисел. Здесь они играют такую же роль, какую играет дзета-функция Римана в теории чисел рационального поля.

Аналогом дзета-функции Дедекинда для полей алгебраич. функций от одного переменного с конечным полем констант является конгруэнц дзета-функция, или дзета-функция Артина-Шмидта (см. ниже Дзета-функция в алгебраической геометрии).

Лит.: [1] Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, 2 изд., т. 1, пер. с латин., М., 1961; [2] Чебышев П. Л., Избр. математические труды, М.-Л., 1946; [3] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.-Л., 1948; [4] Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [5] Лаврик А. Ф., «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1968, т. 32, № 1, с. 134-85; [6] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [7] его же, «Изв. АН СССР. Сер. матем.», 1958, т. 22, с. 161-64; [8] Монтгомери X. Л., «Математика», 1970, т. 14, № 5, с. 133-40; [9] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [10] Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М.-Л., 1947; [11] Несkе Е., Mathematische Werke, Gött., 1959.

А. Ф. Лаврик.

2) Д.-ф. в алгебраической геометрии - аналитическая функция комплексного переменного s, описывающая арифметику алгебраич. многообразий над конечными полями и схем конечного типа над Spec ℤ. Если X - такая схема, X̅ - множество ее замкнутых точек, a N(x) - число элементов поля вычетов k(х) точки х ∈ Х̅, то Д.-ф. ζ_X(s) задается эйлеровым произведением

ζ_X(s) = ∏_x∈X̅ (1 - N(x)^-s)^-1.

Это произведение абсолютно сходится при Re s > dim X, допускает мероморфное продолжение в полуплоскости Re s > dim X - 1/2 и имеет полюс в точке s = dim X (см. [10]). В случае если X = Spec ℤ, то ζ_X(s) есть дзета-функция Римана, а если X конечна над Spec ℤ, то ζ_X(s) есть дзета-функция Дедекинда числового поля.

Наиболее изучена ситуация, когда X является алгебраич. многообразием, определенным над конечным полем F_q. В этом случае

N(х) = q^{deg x},

где deg х - степень поля k(х) над полем F_q и вместо функции ζ_X(s) обычно рассматривают функцию Z_X(t) такую, что

Z_X(q^s) = ζ_X(s).

Если ν_n - число рациональных точек многообразия X в поле F_qⁿ, то оказывается (см. [14]), что

ln Z_X(t) = ν_n t_n/n.

Такие Д.-ф. были введены впервые для случая алгебраич. кривых (по аналогии с полями алгебраич. чисел) в 1924 Э. Артином [1], к-рый заметил, что они являются рациональными функциями от t и для них в нек-рых случаях верен аналог гипотезы Римана о нулях. Этот аналог получил название гипотезы Артина. Для кривых рода 1 она была доказана X. Хассе (Н. Hasse) в 1933 (в случае рода 0 ситуация тривиальна), а для кривых произвольного рода - А. Вейлем (A. Weil) в 1940 при помощи результатов теории абелевых многообразий, созданной им в значительной мере для этой цели (см. [2], [14]).

А. Вейль [2] рассмотрел Д.-ф. произвольных алгебраич. многообразий и высказал гипотезы, обобщающие результаты, полученные к тому времени для кривых. Его исследования основаны на следующем замечании - множество точек многообразия X, рациональных над F_q^a, является множеством неподвижных точек а-й степени Фробениуса эндоморфизма этого многообразия. Первая гипотеза Вейля состоит в том, что в категории алгебраич. многообразий над конечными полями существует теория когомологий, удовлетворяющая всем формальным свойствам, необходимым для получения Лефшеца формулы. Если {Нⁱ(Х)} - группы когомологий такой теории, то из формулы Лефшеца следует, что

ζ_X(t) = P₁(t)...P_2n-1(t)/P₀(t)...P_2n(t),

где n = dim X, а P_i(t) - характеристич. многочлены отображений, индуцированных эндоморфизмом Фробениуса на Вейля когомологиях Нⁱ(Х). В частности, функция ζ_X(t) рациональна.

Вторая гипотеза Вейля состоит в том, что функция ζ_X(t) должна удовлетворять функциональному уравнению, имеющему в случае гладкого проективного многообразия X вид

ζ_X(q^-nt^-1) = (-1)^χq^nχ/2t^χζ_X(t),

где χ - эйлерова характеристика, равная ∑(-1)^l dim Нⁱ(Х). (Эта гипотеза является формальным следствием существования теории когомологий.) Рациональность ζ-функции для любых X доказана Б. Двор-ком [6] методом, не использующим когомологии. Теория когомологий, предсказанная А. Вейлем, была создана А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1958 (см. Вейля когомологии, Топологизированная категория, l-адические когомологии). А. Гротендик вместе с М. Артином (М. Artin) доказал обе гипотезы Вейля для гладких проективных многообразий, причем многочлены P_j(t) имели, вообще говоря, целые l-адические коэффициенты, зависящие от выбора простого l, положенного в основу теории. Предполагается, что на самом деле коэффициенты являются целыми числами, не зависящими от l и вообще от выбора теории когомологий. Это высказывание обычно наз. третьей гипотезой Вейля. Наконец, последняя - четвертая гипотеза Вейля относится к нулям α_i многочленов Р_i(t), рассматриваемым как целые алгебраич. числа (гипотеза Римана):

|α_i| = q^i/2.

Все эти гипотезы доказаны П. Делинем [4].

Основные применения гипотез Вейля в теории чисел относятся к изучению сравнений. Уже в случае кривых из теоремы Вейля вытекала наилучшая оценка для рациональной тригонометрич. суммы от одной переменной (см. [14]). Эти оценки были обобщены на суммы от любого числа переменных. Другим важным приложением этой теории являются оценки коэффициентов Фурье модулярных форм (проблема Рамануджана-Петерсона, см. [4], [15]).

Приведенные результаты являются на самом деле частными случаями гораздо более общих теорем, относящихся к произвольным L-функциям, к-рые связаны с представлениями групп Галуа накрытий многообразия X или, более общо, с нек-рым l-адическим пучком на X (см. [5], [10]). Эти функции служат на произвольных схемах аналогом известных в теории алгебраич. чисел L-функций.

Пусть теперь X - схема конечного типа над Spec Z такая, что ее общий слой X ⊗_X Q является непустым алгебраич. многообразием над полем рациональных чисел Q. Существует предположение, что Д.-ф. ζ_X(s) имеют мероморфные продолжения на всю s-плоскость и удовлетворяют функциональному уравнению. Гипотетич. вид этого уравнения предложен в [11]. Доказать эту гипотезу удалось пока (1978) лишь в очень специальных случаях (рациональные поверхности, алгебраич. кривые, униформизуемые модулярными функциями, абелевы многообразия с комплексным умножением, см. [15]). Что касается аналога гипотезы Римана, то он в этой ситуации даже не сформулирован.

Новый круг идей в изучении Д.-ф. принесли работы Дж. Берча (J. Birch), П. Суиннертон-Дайера [12] и Дж. Тейта [13]. Чтобы сформулировать принадлежащие им гипотезы, следует заметить, что функция ζ_Xp(s) является произведением Д.-ф. ζ_Xp(s) слоев Х_p отображения X → Spec ℤ. Для последних, являющихся многообразиями над конечными полями, имеется, согласно первой гипотезе Вейля, разложение на многочлены. После перемножения этих разложений получается аналогичное представление для Д.-ф.

ζ_X(s) = ∏_iζ⁽ⁱ⁾_X(s)^(-1)i+1

Гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера предполагает, что порядок нуля функции ζ⁽ⁱ⁾_X(s) в точке s = dim X - 1 равен рангу группы рациональных точек многообразия Пикара Pic X (конечному, в силу теоремы Морделла - Вейля). Эта гипотеза, тем самым, предполагает справедливость гипотезы о мероморфном продолжении Д.-ф.

В первоначальной форме гипотеза Берча и Суиннертон-Дайера была высказана для эллиптич. кривых над полем Q в результате изучения обширных таблиц для кривых с комплексным умножением [12]. В дальнейшем было высказано предположение о значении коэффициента при соответствующей степени переменной s в разложении функции ζ⁽¹⁾_X(s) в окрестности точки s = dim X - 1. Предполагается, что он равен

[III] |det(a_i, a_j)|/[Pic X_tors][Pic' X_tors],

где [II] - предполагаемый конечным порядок группы Шафаревича - Тейта локально тривиальных главных однородных пространств многообразия Pic X, |det(a'_i, a_j)| - определитель билинейной формы на группе рациональных точек многообразия Pic X, получающийся из высоты точки, [Pic X_tors] и [Pic' X_tors] - порядки подгрупп кручения в группе рациональных точек на Pic X и двойственном абелевом многообразии. Это выражение обобщает хорошо известное в теории алгебраич. чисел выражение для вычета дзета-функции Дедекинда в точке s = 1. Одной из трудностей на пути к доказательству гипотезы Берча и Суиннертон-Дайера является тот факт, что группа III полностью не вычислена (1978) ни для одной кривой. Доказан аналог этой гипотезы для кривых, определенных над полем функций, однако и в этом случае пришлось предположить конечность Брауэра группы, играющей здесь роль группы III (см. [5]).

Дж. Тейт [13], изучая действие группы Галуа на алгебраич. циклы многообразий, выдвинул гипотезы о полюсах функций ζ⁽ⁱ⁾_X(s) при четных значениях i, а именно,

что функция ζ⁽²ⁱ⁾_X(s) имеет в точке s = i + 1 полюс порядка, равного рангу группы алгебраич. циклов коразмерности i. Это утверждение тесно связано с гипотезой Тейта об алгебраич. циклах. По поводу имеющихся подходов к доказательству этих гипотез, а также различных аргументов в их пользу см. [5], [7], [12], [13], [17].

Независимо от описываемого здесь понятия Д.-ф. в теории алгебраич. групп и автоморфных функций возникли и изучались Д.-ф., являющиеся преобразованиями Меллина модулярных форм. В 1967 А. Вейль заметил, что из общих гипотез о функции ζ⁽¹⁾_X(s) для эллиптич. кривой X над Q вытекает, что кривая X униформизуется модулярными функциями, а функция ζ⁽¹⁾_X(s) есть. преобразование Меллина модулярной формы, отвечающей дифференциалу рода 1 на X. Это замечание привело-к предположению о том, что функции ζ⁽ⁱ⁾_X(s) любой схемы X являются преобразованиями Меллина подходящих модулярных форм. Основные результаты в этом направлении были получены Э. Жаке и Р. Ленглендсом (см. [7], [9]). В частности, они построили широкий класс рядов Дирихле, удовлетворяющих нек-рому функциональному уравнению и разлагающихся в эйлерово произведение, к-рые можно представить в виде преобразования Меллина модулярных форм на группе GL(2). Выполнимость условий их теоремы непосредственно связана с приведенными выше гипотезами об общих свойствах Д.-ф. Пока их удается проверить лишь для кривых, определенных над полем функций.

Начиная с 1970 под влиянием работ о p-адических Д.-ф. полей алгебраич. чисел (см. [14]) возникает аналогичный подход и к Д.-ф. схем, главным образом эллиптич. кривых. Имеющиеся здесь проблемы, во многом похожие на рассмотренные выше, отражены в [9]. Д.-ф. эллиптич. кривой над Q тесно связана с одномерной формальной группой кривой и они полностью друг друга определяют [16].

Лит.: [1] Аrtin Е., «Math. Z.», 1924, Bd 19, S. 153-246; [2] Weil A., Surles courbes algebriques et les varietes quis'en deduisent, P., 1948; [3] eго жe, «Bull. Amer. Math. Soc.». 1949, v. 55, № 5, p. 497 -508; [4] Deligne P., «Publ. Math. IHES», 1974, t. 43, p. 273-307; [5] Dix exposès sur la cohomologie des schémas, Amst.-P., 1968; [6] Dwоrk В., в кн.: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Djursholm, 1963, p. 247 - 59; [7] Жаке Э., Ленгленде P., Автоморфные формы на GL(2), пер. с англ., М., 1973; [8] Манин Ю. И., «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 6, с. 7-71; [9] Modular functions of one variable, В., 1973; [10] Сepp Ж.-П., «Успехи матем. наук», 1965, т. 20, № 6, с. 19-26; [11] его же, «Математика», 1971, т. 15, № 1, с. 3-13; [12] Свиннертон-Дайер П., «Математика», 1969, т. 13, № 5, с. 3-25; [13] Тэйт Д., «Успехи матем. наук», 1965, т.20, № 6, с. 27-40; [14] Шафаревич И. Р., Дзета-функция, М., 1969; [15] Шимура Г., Введение в арифметическую теорию автоморфных функций, пер. с англ., М., 1973; [16] Xонда Т., «Математика», 1969, т. 13, № 6, с. 3-17; [17] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970, М., 1971, с. 111-51.

А. Н. Паршин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.