ДЖЕНКИНСА ТЕОРЕМА

ДЖЕНКИНСА ТЕОРЕМА, общая теорема о коэффициентах, - теорема теории однолистных конформных отображений семейств областей на римановой поверхности, содержащая неравенство для коэффициентов отображающих функций, а также условия на функции, для к-рых это неравенство обращается в равенство. Д. т. является точным выражением и развитием (высказанного без доказательства) принципа Тейхмюллера (см. [1], с. 83), согласно к-рому решение нек-рого класса экстремальных проблем для однолистных функций определяется квадратичными дифференциалами соответствующего вида. Получена Дж. Дженкинсом (1954, см. [1] - [4]).

Условия Д. т. Пусть ℛ - конечная ориентированная риманова поверхность, Q(z)dz² - положительный квадратичный дифференциал на ℛ, имеющий хотя бы один полюс порядка ≥ 2, и пусть P₁, ..., P_r - все полюсы порядка 2, а P_r+1, ..., P_p - все полюсы порядка > 2. Пусть открытое всюду плотное на ℛ множество Δ представляет собой дополнение к объединению конечного числа замыканий траекторий и замыканий дуг траекторий, причем Р_j ∈ Λ, j = 1, ..., р. Пусть функция f₀(P) отображает Λ конформно и однолистно в ℛ и пусть существует гомотопия

f_t(Р): (Λ × [0,1]) → ℛ

отображения f₀(P) в тождественное отображение f₁(P) ≡ Р, оставляющая неподвижными все полюсы из Λ и удовлетворяющая условию f_t(P) ≠ R для каждого полюса R ∈ ℛ, t ∈ [0, 1], и всякой точки Р ≠ R. Пусть z_j = z_j(Р) - такой локальный параметр для полюса Р_j, что Z_j(P_j) = ∞, j = 1, ..., р. Пусть, при j = 1, ..., р в окрестности полюса P_j,

где n_j - целая часть числа 1/2(m_j - 3). Пусть

и пусть d(P_j) = 0 для всех j > r, для которых Р_j лежит на границе полосообразной области относительно Q(z)dz². Пусть, наконец,

Утверждение Д. т. При этих условиях

(*)

где ln a^(j) = ln |a^(j)| - id(Р_j), j ≤ r.

Д. т. для случая равенства. Если в (*) имеет место знак равенства, то: а) в каждой области Λ_l ⊂ Λ отображение f₀ является изометрией в Q-метрике |dtζ| = |Q(z)|^1/2|dz|, каждая траектория Q(z)dz² в Λ переходит в траекторию, и множество f₀(Λ) всюду плотно в ℛ; б) для того чтобы f₀ было тождественным отображением в нек-рой области Λ_l ⊂ Λ, достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих дополнительных условий:

1) в Λ_l имеется такой полюс Р_j, j > r, порядка m_j, что a^(j)_s = 0 для s < min {n_о + 1, m_j - 3};

2) в Λ_l имеется полюс P_j, для к-рого j ≤ r и a^(j) = 1;

3) в Λ_l имеется точка траектории, оканчивающейся в простом полюсе.

Если в (*) имеет место равенство и если |a^(j)| ≠ 1 при нек-ром j ≤ r, то ℛ конформно эквивалентно сфере, а Q(z)dz² не имеет нулей и простых полюсов, и r = р = 2. Если, к тому же, Λ есть область, то отображение f₀ конформно эквивалентно линейному преобразованию, неподвижными точками к-рого служат образы обоих полюсов.

Экстремальной метрики метод, лежащий в основе доказательства Д. т., был с надлежащими модификациями использован Дж. Дженкинсом также для получения ряда других результатов, в частности так наз. специальной теоремы о коэффициентах (см. [4]). Дополнение и развитие Д. т. см. в [5].

Лит.: [1] Дженкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ., М., 1962; [2] Jenkins J. A., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1960, v. 95, № 3, p. 387-407; [3] его же, «Bull. Amer. Math. Soc.», 1962, v. 68, № 1, p. 1-9; [4] его же, «Ill. J. Math.», 1964, v. 8, № 1, p. 80-99; [5] Tамpазов П. M., «Матем. сб.», 1967, т. 72, № 1, с. 59-71.

П. М. Тамразов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.