ДЖЕКСОНА НЕРАВЕНСТВО

ДЖЕКСОНА НЕРАВЕНСТВО - неравенство, дающее оценку скорости убывания наилучшего приближения функции тригонометрич. полиномами или алгебраич. многочленами в зависимости от ее дифференциально-разностных свойств. Пусть f(x) - непрерывная на всей оси 2π-периодпч. функция, Е_n(f) - наилучшее равномерное приближение f(x) тригонометрич. полиномами Т_n(х) порядка n, т. е.

E_n(f) = inf_Tn max_x |f(x) - T_n(x)|,

и

ω(f; δ)= max_|t1-t2|≤δ |f(t₁) - f(t₂)|

- модуль непрерывности функции f(x). Д. Джексон [1] показал, что

E_n(f) ≤ Cω(f, 1/n) (*)

(С - абсолютная константа), а если f(x) имеет r-ю непрерывную производную f^(r)(x), r ≥ 1, то

E_n(f) ≤ (C_r/n^r) ω (f^(r); 1/n),

где постоянная С_r зависит только от r. В случае #&969;(f; t) ≤ Kt^α, 0 < α < 1,

неравенство (*) было независимо получено С. Н. Бернштейном [3].

Если f(х) непрерывна или r раз непрерывно дифференцируема на отрезке [а, b], r = 1, 2..., и E_n(f; а, b) - наилучшее равномерное приближение функции f(x) на [а, b] алгебраич. многочленами степени n, то для n > r имеет место соотношение (f⁰(x) = f(x))

где постоянная А_r зависит только от r.

Д. н. известны также как теоремы Джексона, или прямые теоремы теории приближения функций. Они обобщались в различных направлениях: приближение в интегральной метрике, приближение целыми функциями конечной степени, оценка приближения через модуль гладкости k-го порядка, функции многих переменных. В ряде случаев в Д. н. найдены точные значения констант.

Лит.: [1] Jackson D., Ülber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen, Dissertation, Gott., 1911; [2] Никольский С. M., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; [3] Бернштейн С. Н., «Сооб. Харьк. матем. общества», сер. 2, 1912, т. 13, с. 49-194; [4] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976.

Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.