ДЖЕКОБСОНА РАДИКАЛ

ДЖЕКОБСОНА РАДИКАЛ кольца А - идеал J(A) ассоциативного кольца А, удовлетворяющий следующим двум условиям: 1) J(А) - наибольший квазирегулярный идеал в А (кольцо R наз. квазирегулярным, если для любого его элемента а разрешимо уравнение а + х + ах = 0); 2) в факторкольце A̅ = A/J(А) нет квазирегулярных идеалов, кроме нулевого. Д. р. был введен и детально исследован Н. Джекобсоном (N. Jacobson) в 1945 (см. [1]).

Д. р. всегда существует и может быть охарактеризован весьма многими способами: J(А) есть пересечение ядер всех неприводимых представлений кольца А, пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов, пересечение всех модулярных максимальных левых идеалов; он содержит все квазирегулярные односторонние идеалы, все односторонние нильидеалы и т.д. Если I - идеал А, то J(I) = I ∩ J(А), если А_n - кольцо всех матриц порядка n над А, то

J(A_n) = (J(A))_n. Если на ассоциативном кольце А ввести композицию ○: а ○ b = a + b + аb,

то в полугруппе 〈А, ○〉 радикал J(А) относительно композиции ○ будет подгруппой.

Над квазирегулярным (т. е. совпадающим со своим Д. р.) ассоциативным кольцом не существует ненулевых неприводимых конечно порожденных модулей; однако простые ассоциативные квазирегулярные кольца существуют. Для того чтобы в ассоциативном кольце А Д. р. был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы А было подпрямой суммой примитивных колец.

Лит.: [1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961.

К. А. Жевлаков.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.