ДЕФЕКТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО

ДЕФЕКТНОЕ ПОДПРОСТРАНСТВО оператора - ортогональное дополнение D к области значений T_λ = {у = (А - λI)x, x ∈ D_A} оператора А_λ = А- λI, где А - линейный оператор, определенный на линейном многообразии D_A гильбертова пространства Н, а λ - регулярное значение (регулярная точка) оператора А. При этом под регулярным значением оператора А понимается такое значение параметра λ, при к-ром уравнение (А - λI)х = у имеет единственное решение для любого у, а оператор (А - λI)^-1 ограничен, т. е. резольвента оператора А ограничена.

При изменении λ Д. п. D_λ меняется, но его размерность остается одна и та же для всех λ, принадлежащих связной компоненте открытого множества всех регулярных значений оператора А.

Если А - симметрич. оператор с плотной областью определения D_A, то его связными компонентами регулярности будут верхняя и нижняя полуплоскости. В этом случае D_λ = {x ∈ D_A^*, А^*х = λ̅х}, а дефектные числа n₊ = dim D_i и n_{_} = dim D_-i где А^* - сопряженный оператор, наз. (положительным и отрицательным) индексами дефекта оператора А. Кроме того,

D_A^* = D_A ⊕ D_i ⊕ D_i,

т. е. D_A^* есть прямая сумма D_A, D_i и D_-i. Таким образом, если n₊ = n_- = 0, то оператор А является самосопряженным; в противном случае Д. п. симметрич. оператора характеризуют степень его отклонения от самосопряженного оператора.

Д. п. играют важную роль в построении расширений симметрич. оператора до максимального оператора или до самосопряженного (гипермаксимального) оператора.

Лит.: [1] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [2] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [3] Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-2, М., 1962-66; [4] Рисе Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954.

В. И. Соболев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.