ДЕСЯТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

ДЕСЯТИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ действительного числа - приближенное изображение действительного числа конечной десятичной дробью. Всякое действительное число а может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби:

а = ±α₀, α₁α₂...α_n...,

где α₀ - неотрицательное число, α_n - одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9, n = 1, 2, .... Если исключить из рассмотрения бесконечные периодические десятичные дроби с периодами, состоящими только из одних девяток, то всякое действительное число будет записываться в виде бесконечной десятичной дроби однозначным образом. Пусть выбрана такая запись чисел и а ≥ 0, тогда конечная десятичная дробь

a̲_n = α₀, α₁α₂ ... α_n

(соответственно a̅„ = α₀, α₁α₂ ... α_n + 10^-n) наз. нижним (соответственно верхним) десятичным приближением порядка n числа а. Если n < 0 и а' = -а, то нижнее а_n и верхнее а_n Д. п. порядка n числа а определяются равенствами а̲_n = -а̅_n, a̅_n = -A̲_n.

Для Д. п. действительного числа выполняются следующие соотношения:

a̲_n ≤ a̲_n+1 ≤ a ≤ a̅_n+1 ≤ a̅_n, а̅_n - а̲_n = 10^-n.

Из них следует, что

lim_n→∞ (a̲_n ± b̲_n) = a ± b, lim_n→∞ a̲_nb̲_n = ab,

a если b ≠ 0, то lim_n→∞ a̲_nb̲_n = a/b, при этом вместо нижних Д. п. можно брать верхние.

Д. п. используются на практике для приближенных вычислений. В качестве приближенных значений сумм a + b, разностей а - b, произведений ab и частных a/b берутся, соответственно, a_n + b_n, а_n - b_n, (a̲_nb̲_n)_n и (a̲_n/b̲_n)_n. В результате указанных действий над конечными десятичными дробями a̲_n и b̲_n имеющими не более n значащих цифр после запятой, получаются снова десятичные дроби с не более чем n значащими цифрами после запятой. С помощью этих дробей искомый результат можно получить с любой степенью точности.

Л. Д. Кудрявцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.