ДЕНА ЛЕММА

ДЕНА ЛЕММА: пусть в трехмерном многообразии М расположена двумерная клетка D с самопересечениями, имеющая границей простую замкнутую полигональную кривую С без особых точек; тогда существует двумерная клетка D₀ с границей С, кусочно линейно вложенная в М. Д. л. приведена в [1], однако доказательство ее содержало пробелы; полное обоснование дано в [2]. С Д. л. связан результат, наз. теоремой о петле: пусть М - компактное трехмерное многообразие и N - одна из компонент его края; если ядро гомоморфизма π₁(N) → π₁(М) нетривиально, то существует простая петля на N, к-рая не гомотопна нулю на N и гомотопна нулю в М. Теорема о петле и Д. л. обычно применяются совместно. Они могут быть объединены в следующую теорему: если М - трехмерное многообразие с краем N и ядро гомоморфизма включения π₁(N) → π₁(М) нетривиально, то в М существует кусочно линейно вложенный двумерный диск D, край к-рого лежит на N и не стягиваем на N. К этим теоремам примыкает теорема о сфере, являющаяся вместе с Д. л. и теоремой о петле одним из основных средств топологии трехмерных многообразий: если М - ориентируемое трехмерное многообразие с π₂(М) ≠ 0, то в М существует подмногообразие ∑, гомеоморфное двумерной сфере, к-рое не гомотопно нулю в М.

Эти результаты имеют многочисленные применения в топологии трехмерных многообразий и, в частности, в теории узлов. Так, если K - узел, то π(S³\K) изоморфно ℤ тогда и только тогда, когда К - тривиальный узел. Для n-компонентного зацепления L в S³ следующие условия равносильны: 1) π₂(S³\L) ≠ 0; 2) π₁(S³\L) есть свободное произведение двух нетривиальных групп; 3) в S³\L существует такое подмногообразие N, гомеоморфное двумерной сфере, что обе компоненты S³\N содержат точки из L. В частности, если L - узел (т. е. n = 1), то π₂(S³\L) = 0 (теорема об асферичности узлов).

Лит.: [1] Dehn М., «Math. Ann.», 1910, Bd 69, S. 137-168; [2] Папакиpьякопулос С. Д., «Математика», 1958, т. 2, № 4, с. 23-47; [3] Масси У., Столлингс Дж., Алгебраическая топология. Введение, пер. с англ., М., 1977.

М. И. Войцеховский, М. Ш. Фарбер.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.