ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ, δ-функция, δ-функция Дирака, δ(х),- функция, позволяющая записать пространственную плотность физич. величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в точке о пространства R_n. Напр., плотность точечной массы m, находящейся в точке а, записывается с помощью Д.-ф. в виде mδ(х - а). Д.-ф. может быть определена формальным соотношением

∫_Rn(х - а) f(х)dx = f(а)

для любой непрерывной функции f(x). Аналогично можно определить производные δ^(k)(x) для Д.-ф.:

∫_Rn δ^k(х - а) f(х)dx = (-1)^k f^(k)(а)

для класса функций f(x), непрерывных в R_n со своими производными f^(k)(х) до порядка k включительно. Часто используемые формальные операторные соотношения, выражающие свойства Д.-ф.:

δ(-х) = δ(х); δ(сх) = |с|^-1 δ(х), с = const; xδ(x) = 0; δ(х) + хδ'(х) = 0

и т. п., следует понимать в смысле данных выше определений, т. е. эти соотношения приобретают смысл лишь после интегрирования их с достаточно гладкими функциями. Таким образом, Д.-ф. не является обычной функцией в смысле классич. теории функций и определяется в теории обобщенных функций как сингулярная обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций f(x), который сопоставляет f(x) ее значение в нуле: (δ, f) = f(0).

В. Д. Нукин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.