ДЕЛИТЕЛЕЙ ЧИСЛО

ДЕЛИТЕЛЕЙ ЧИСЛО - функция натурального аргумента n, равная количеству натуральных делителей числа n. Эта арифметич. функция обозначается τ(n), либо d(n). Известна формула:

τ(n) = (α₁ + 1)(α₂ + 1) ... (α_k + 1),

где

n = pα11pα22 ... pαkk

- канонич. разложение n на простые сомножители. Для простых р τ(р) = 2, но существует бесконечная последовательность n, для к-рых

τ(n) > 2^{((1-ε)ln n) / ln ln n}, ε > 0.

Однако всегда

τ(n) = O(n^ε);

τ(n) - мультипликативная арифметическая функция; τ(n) равно числу точек с натуральными координатами на гиперболе ху = n. Для среднего значения х(n) имеется асимптотич. формула Дирихле (см. Делителей проблемы). Обобщением функции τ(n) является функция - число решений уравнения n = х₁х₂ ... х_k в натуральных числах х₁х₂ ... х_k.

Лит.: [1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

H. И. Климов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.