ДЕЛИМОСТЬ

ДЕЛИМОСТЬ в кольце - обобщение понятия делимости целых чисел нацело (см. Деление).

Элемент а кольца А делится на другой элемент b ∈ А, если существует такой с ∈ А, что а = bс. При этом говорят также, что b делит а, и а наз. кратным элемента b, а b - делителем элемента а. Для обозначения Д. а на b употребляют символ b|а.

В любом ассоциативно-коммутативном кольце имеют место следующие свойства Д.:

если b|а и с|b, то с|а; если b|а, с ≠ 0, то сb|са; если с|а и с|b, то с|(а ± b).

Последние два свойства равносильны тому, что множество элементов, делящихся на b, образует идеал bА кольца А (главный идеал, порожденный элементом b), к-рый содержит b, если А - кольцо с единицей.

В области целостности элементы а и b делятся друг на друга одновременно (а|b и b|а) тогда и только тогда, когда они ассоциированы, т. е. а = εb, где ε - обратимый элемент. Два ассоциированных элемента порождают один и тот же главный идеал. Делители единицы совпадают, по определению, с обратимыми элементами. Простым элементом в кольце наз. ненулевой элемент, не имеющий собственных делителей, кроме делителей единицы. В кольце целых чисел такие элементы наз. простыми числами, в кольце многочленов - неприводимыми многочленами. Кольца, в к-рых подобно кольцу целых чисел или кольцу многочленов имеет место однозначное разложение на простые множители (с точностью до делителей единицы и порядка следования), наз. факториалъными кольцами. В таком кольце для всякой конечной совокупности элементов существуют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, оба определенные однозначно с точностью до делителей единицы.

Лит.: [1] Kummеr Е., «J. reine und angew. Math.», 1847, Bd 35, S. 319-26; [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.

О. А. Иванова, С. А. Степанов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.