НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ДЕЛИМОСТИ ПРИЗНАК

ДЕЛИМОСТИ ПРИЗНАК на натуральное число d - условие, к-рому удовлетворяет натуральное число А в том и только в том случае, если оно делится на d. Желательно, чтобы это условие можно было легко проверить и чтобы эта проверка была не сложнее непосредственного деления числа А на d.

Если разность чисел А и В делится на d, то число А делится на d тогда и только тогда, когда число В делится на d. На этом свойстве основан вывод многих Д. п. Пусть запись числа А в десятичной системе счисления имеет вид:

А = (аn ... а2a1a0)10 = а0 + 10а1 + 102a2 + ... + 10nan, тогда

А = а0 + 10A1, где А1 = a1 + 10а2 + ... +10n-1an;

А = а0 + 10a1 + 100A2, где А2 = a2 + 10а3 + ... +10n-2an;

А = а0 + 10a1 + 100a2 + 1000A3, где А3 = a3 + 10а4 + ... +10n-3an;

Из этих равенств сразу получаются Д. п. на делители чисел 10, 100, 1000, ... В частности, для того чтобы число А делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра, т. е. число а0, делилось на 2; для того чтобы число A делилось на 4 (на 8), необходимо и достаточно, чтобы число, изображаемое двумя (соответственно тремя) последними цифрами числа А, т. е. число a0 + 10a1, делилось на 4 (соответственно a0 + 10a1 + 100a2 делилось на 8). Так как разность (a0 + 10a1) - (а0 + 2a1) кратна 4, то Д. п. на 4 можно дать и в такой форме: число А делится на 4 тогда и только тогда, когда число a0 + 2a1 делится на 4.

Каждый Д. п. на число d позволяет сопоставить с числом А, если оно не слишком мало, нек-рое неотрицательное целое число, меньшее А, к-рое делится на d в том и только в том случае, когда само число А делится на d. Другими словами, каждый Д. п. на число d определяется нек-рой функцией f, принимающей целые значения и удовлетворяющей условиям: |f(A)| < A для каждого натурального А, начиная с некоторого; f(A) делится на d тогда и только тогда, когда число А делится на d. Любая целозначная функция, удовлетворяющая перечисленным условиям, наз. функцией делимости на число d; множество всех таких функций обозначается Ω(d). Ясно, что

f1(A) = a0 ∈ Ω(2) ∩ Ω(5),

f2(A) = a0 + 10a1 ∈ Ω(4) ∩ Ω(25),

f3(A) = a0 + 10a1 + 100a2 ∈ Ω(8) ∩ Ω(125),

f4(A) = a0 + 2a1 ∈ Ω(4)

Поскольку

A = (а0 + A1) + 9A1 = (а0 + а1 + A2) + 9(A1 + A2) = = ... = (а0 + а1 + ... + an) + 9(A1 + A2 + ... + Аn-1), то

f5(A) = а0 + а1 + ... +аn ∈ Ω(9) ⊂ Ω(3).

Итак, число А делится на 3 (на 9) тогда и только тогда, когда сумма цифр этого числа делится на 3 (соответственно на 9). Аналогично,

A = (a0 - A1) + 11A1 = (a0 - a1 + A2) + 11(A1 - A2) =

= ... =(а0 - a1 + ... + (-1)nаn) + 11(A1 - A2 + ... + (-1)n-2Аn-1).

Следовательно,

f6(А) = a1 - a1 + ... + (-1)nan ∈ Ω(11).

Используя представления чисел в системе счисления с основанием 10k, где k = 2, 3, ..., можно найти Д. п. на делители чисел вида 10k + 1. Так, при k = 2 получаются следующие функции делимости на 11 и 101:

f7(A) = (a1a0)10 + (a3a2)10 + (a5a4)10 + ... ∈ Ω(11),

f8(A) = (a1a0)10 - (a3a2)10 + (a5a4)10 - ... ∈ Ω(101),

Поскольку 103 + 1 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13, получается объединенный Д. п. на числа 7, 11, 13: чтобы узнать, делится ли данное число на какое-нибудь из чисел 7, 11 или 13, достаточно разбить цифры этого числа на грани, начиная справа, по три в каждой, а затем соединить попеременно знаками + и - числа, образованные этими гранями. Полученное число делится на 7, 11 или 13 тогда и только тогда, когда данное число делится соответственно на 7, 11 или 13. Таким образом,

f9(A) = (a2a1a0)10 - (a5a4a3)10 + (a8a7a6)10 - ... ∈ Ω(7) ∩ Ω(11) ∩ Ω(13),

Если целые числа с и d взаимно просты, то число Ас делится на d тогда и только тогда, когда число А делится на d. Это соображение также часто используется при построении Д. п. Пусть d - какой-нибудь делитель разности 10с - 1, тогда числа с и d взаимно просты, и из равенства

Ac = (са0 + A1) + (10с - 1) А1

следует, что число А делится на d в том и только в том случае, если число A1 + ca0 делится на d. Напр., при d = 19, с = 2 разность 10с - 1 делится на 19. Поэтому

f10(A) = A1 + 2a0 ∈ Ω(19).

Чтобы узнать, делится ли число на 19, можно последовательно применять этот признак. Пусть d - какой-нибудь делитель суммы 10с + 1. Из равенства

Aс = (сa0 - A1) + (10c + 1)А1

следует, что число А делится на d тогда и только тогда, когда число А1 - са0 делится на d. Так, при с = 11 число 10c + 1 делится на 37. Поэтому f11(A) = A1 - 11а0 ∈ Ω(37). Соответствующий Д. п. можно сформулировать так: чтобы узнать, делится ли число А на 37 или нет, достаточно вычеркнуть последнюю цифру числа А и из числа, образуемого невычеркнутыми цифрами, вычесть произведение 11 на число, изображаемое вычеркнутой цифрой. Число А делится на 37 в том и только в том случае, если полученное число делится на 37. Подобным образом можно вывести Д. п. и на делители чисел вида 10kс ± 1.

Лит.: [1] Воробьев Н. Н., Признаки делимости, 2 изд., М., 1974.

В. И. Нечаев.


Источники:

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru