ДЕЛЕНИЯ КРУГА МНОГОЧЛЕН

ДЕЛЕНИЯ КРУГА МНОГОЧЛЕН, круговой многочлен, - многочлен, имеющий вид

Ф_n(x) = ∏_k(x - φ_k),

где φ_k - первообразные корни степени n из единицы и произведение берется по всем числам k, взаимно простым с n и взятым из ряда 1, 2, ..., n. Степень многочлена Ф_n(х) - число натуральных чисел, меньших, чем n, и взаимно простых с n. Д. к. м. удовлетворяют соотношению

xⁿ - 1 = ∏_d|n Ф_d(x - φ),

где произведение берется по всем положительным делителям d числа n, включая и само n. Это соотношение позволяет рекурсивно вычислять многочлены Ф_n(х) путем деления многочлена хⁿ - 1 на произведение всех Ф_d(х), d < n, d|n. При этом коэффициенты многочлена оказываются лежащими в исходном простом поле P, а в случае поля рациональных чисел - целыми числами. Так,

Ф₁(х) = х - 1, Ф₂(x) = х + 1, Ф₃(х) = х² + х + 1.

Если n = p - простое и поле Р имеет характеристику 0, то

Ф_p(x) = (x^p - 1)/(x - 1) = x^p-1 + x^p-2 + ... + x + 1.

Для многочлена Ф_n(х) можно указать явное выражение через Мёбиуса функцию μ(k):

Ф_n(x) = ∏_d|n (x^d - 1)^μ(n/d),

Напр.,

Ф₁₂(х) = (х¹² - 1)(х⁶ - 1)^-1(x⁴ - 1)^-1(х³ - 1 )⁰(х² - 1) × (х - 1)⁰ = (x⁶ + 1)/(x² + 1) = х⁴ - х² + 1.

Над полем рациональных чисел все многочлены Ф_n(х) неприводимы, но над конечными простыми полями эти многоялены могут быть приводимы. Так, над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение:

Ф₁₂(х) = х⁴ - х² + 1 = (х² + 5x + 1)(х² - 5x + 1).

Уравнение Ф_n(х) = 0, дающее все первообразные корни n-й степени из единицы, наз. уравнением деления круга (окружности). Решение этого уравнения в тригонометрич. форме имеет вид:

r = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) = e^2kπi/n,

где дробь k/n несократима, т. е. k и n взаимно просты. Решение в радикалах уравнения деления круга тесно связано с задачей построения правильного n-угольника или с эквивалентной ей задачей деления окружности на n равных частей, а именно, задача деления окружности на n частей решается с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда уравнение Ф_n(х) = 0 решается в квадратных радикалах. Последнее, как доказал К. Гаусс (С. Gauss, 1801), имеет место в том и только в том случае, когда

n = 2^mр₁р₂ ... p_s,

где m - целое неотрицательное число и р₁, р₂, ..., p_s - попарно различные простые числа, представимые в виде 2^2k + 1 с целым неотрицательным k.

Лит.: [1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 4 изд., М.-Л., 1941.

И. В. Проскуряков.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.