ДЕЛЕНИЕ

ДЕЛЕНИЕ - действие, обратное к умножению; заключается в нахождении такого х, что bх = а или xb = a при заданных а и b. Результат Д. х наз. частным, или отношением а и b; при этом а наз. делимым, а b - делителем. Для обозначения Д. употребляются знаки двоеточия, горизонтальной или косой черты.

В поле рациональных чисел Д. возможно всегда, кроме деления на нуль, при этом результат Д. определен однозначно. В кольце целых чисел Д. не всегда возможно. Напр., 10 делится на 5, но не делится на 3. Если при Д. (в поле рациональных чисел) целого числа а на целое число b в частном получается целое число, то говорят, что а делится нацело (или без остатка) на b, и записывают это следующим образом: b|а. Д. комплексных чисел производится по формуле

(a + bi)/(c + di) = ((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c² + d²)

а Д. комплексных чисел, записанных в тригонометрич. форме,- по формуле

r(cos α + i sin β) / ρ(cos β + i sin β) = r/ρ (cos(α - β) + i sin (α - β))

Деление с остатком - это, по существу, совершенно особая операция, отличная от Д. в определенном выше смысле. Если а и b ≠ 0 - целые числа, то операция Д. с остатком числа а на число b состоит в определении таких целых чисел х и у, что

а = bх + у, где 0 ≤ y < |b|. При этом а наз. делимым, b - делителем, х - частным, а у - остатком. Эта операция всегда осуществима и однозначна. Если y = 0, то говорят, что а делится на b без остатка. В этом случае частное получается то же самое, что и частное при обычном Д.

Аналогично определяется Д. с остатком для многочленов с коэффициентами из некоторого поля. Она состоит в нахождении по двум заданным многочленам А(х) и В(х) многочленов Q(х) и R(x), удовлетворяющих условиям

A(x) = B(x)Q(x) + R(x)

и степень R(x) меньше степени Q(х). Эта операция также всегда осуществима и однозначна. Если R(x) ≡ 0, то говорят, что многочлен А(х) делится на многочлен В(х) без остатка.

С. А. Степанов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.