ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, вещественное число, - положительное число, отрицательное число или нуль. Понятие Д. ч. возникло путем расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики при выражении значения любой величины с помощью вполне определенного числа, так и внутренним развитием самой математики, в частности стремлением расширить область применимости ряда операций над числами (извлечение корня, вычисление логарифмов, решение уравнений и т. п.). К общему понятию Д. ч. подошли еще древнегреческие математики в своей теории несоизмеримых отрезков, однако как самостоятельное понятие оно было сформулировано впервые лишь в 17 в. И. Ньютоном (I. Newton) в «Arithmetica Universales»: «Число есть не столько совокупность нескольких единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой, однородной с ней принятой за единицу». Строгие теории Д. ч. были построены в конце 19 в. Г. Кантором (G. Cantor), Р. Дедекиндом (R. Dedekind) и К. Вейерштрассом (К. Weierstrass).

Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.

I. Свойство упорядоченности. Для любых двух чисел а и b определено соотношение порядка, т. е. два любых Д. ч. а и b удовлетворяют одному и только одному из следующих соотношений: a < b, а = b или а > b; при этом, если а < b и b < с, то a < с (транзитивность упорядоченности).

II. Свойство операции сложения. Для любой упорядоченной пары чисел а и b определено такое единственное число, наз. их суммой и обозначаемое через a + b, что выполняются следующие свойства: II₁) a + b = b + a (коммутативность); II₂) a + (b + с) = (а + b) + с для любых чисел а, b и с (ассоциативность); II₃) существует такое число, наз. нулем и обозначаемое 0, что a + 0 = a для любого числа a; II₄) для любого числа а существует такое число, наз. противоположным а и обозначаемое через -я, что a + (-а) = 0; II₅) если a < b, то a + с < b + с для любого числа с. Нуль единствен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой упорядоченной пары чисел а и b число a + (-b) наз. разностью чисел а и b и обозначается а - b.

III. Свойство операции умножения. Для любой упорядоченной пары чисел а и b определено такое единственное число, наз. их произведением и обозначаемое через ab, что: III₁) ab = ba (коммутативность); III₂) a(bc) - (ab)c для любых чисел a, b и с (ассоциативность); III₃) существует такое число, наз. единицей и обозначаемое через 1, что a1 = a для любого числа а; III₄) для любого числа a, не равного нулю, существует такое число, наз. обратным давному и обозначаемое через 1/а, что a(1/a) = 1; III₅) если a < b и с > 0, то aс < bс. Эти свойства гарантируют единственность единицы и единственность обратного каждому элементу. Для любой упорядоченной пары чисел а и b, b ≠ 0, число a(1/b) наз. частным от деления а на b и обозначается a/b.

Число 1 + 1 обозначается 2, число 2 + 1 обозначается 3 и т. д. Эти числа 1, 2, 3... наз. натуральными числами. Числа, большие нуля, наз. положительными, а числа, меньшие нуля,- отрицательными. Числа 0, ±1, ±2, ... наз. целыми числами (считается, что +a = a). Числа вида m/n, где m - целое, а n - натуральное, наз. рациональными числами. Они включают в себя все целые числа. Д. ч., не являющиеся рациональными, наз. иррациональными.

IV. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. Для любой тройки чисел a, b и с (a + b)с = aс + bс.

Совокупность элементов, удовлетворяющих всем перечисленным свойствам, образует линейно упорядоченное поле. Д. ч. обладают еще двумя важными свойствами.

V. Архимедово свойство. Каково бы ни было число a, существует такое целое число n, что n > а. Совокупность элементов, удовлетворяющих свойствам I - V, образует упорядоченное архимедово поле. Таковым является не только совокупность Д. ч., но и множество рациональных чисел.

Существенным свойством Д. ч. является свойство их непрерывности, к-рым рациональные числа не обладают.

VI. Свойство непрерывности. Для всякой системы вложенных отрезков

{[a_n, b_n]}, a_n ≤ a_n+1 ≤ ... ≤ b_n+1 ≤ b_n, n = 1, 2, ...,

существует хотя бы одно число, к-рое принадлежит всем отрезкам данной системы. Это свойство наз. также принципом вложенных отрезков Кантора. Если длины b_n - a_n вложенных отрезков стремятся к нулю при n → ∞, то существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Из перечисленных свойств Д. ч. следуют многие другие; так, из свойств I - V можно получить, что 1 > 0, правила действий с рациональными дробями, правила знаков при умножении и делении Д. ч., свойства абсолютной величины Д. ч., правила преобразования равенств и неравенств и т. п. Свойства I - VI полностью описывают свойства множества Д. ч. и только их, иначе говоря, если эти свойства назвать аксиомами, то окажется, что Д. ч. - совокупность элементов, удовлетворяющая аксиомам I - VI. Это означает, что аксиомы I - VI определяют множество Д. ч. с точностью до изоморфизма: если имеются две совокупности X и Y, удовлетворяющие свойствам I - VI, то всегда существует изоморфное относительно упорядоченности и операций сложения и умножения отображение I на У, т. е. указанное отображение, обозначим его через х → у (здесь у ∈ У является элементом, соответствующим элементу х ∈ Х), взаимно однозначно отображает X на Y так, что если

x₁ < x₂, x₁ ∈ X, х₂ ∈ X и x₁ → y₁, х₂ → y₂,

то

y₁ < y₂, x₁ + x₂ → y₁ + y₂, х₁x₂ → y₁y₂.

Отсюда следует, что множество Д. ч. (в отличие, напр., от множества рациональных чисел) невозможно расширить с сохранением свойств I - V, т. е. не существует множества, в к-ром было бы введено соотношение порядка, операции сложения и умножения, удовлетворяющие свойствам I - V, и к-рое содержало бы подмножество, изоморфное множеству Д. ч., и не совпадало бы с ним. Д. ч. существенно больше, чем рациональных чисел, именно рациональные числа составляют счетное подмножество множества Д. ч., которое само несчетно.

Как рациональные, так и иррациональные числа обладают свойством плотности во множестве всех Д. ч.: каковы бы ни были два Д. ч. a и b, a < b, найдутся такое рациональное r, что a < r < b, и такое иррациональное ξ, что а < ξ < b.

Со свойством непрерывности Д. ч. тесно связано свойство их полноты, состоящее в том, что всякая фундаментальная последовательность Д. ч. является сходящейся. Следует отметить, что множество одних только рациональных чисел уже не обладает свойством полноты: в нем существуют фундаментальные последовательности, не сходящиеся ни к какому рациональному числу. Свойство непрерывности множества Д. ч. (их полнота) связано с их применением для измерения тех или иных непрерывных величин, например для измерения длин геометрических отрезков: если выбрать отрезок единичной длины, то в силу непрерывности множества Д. ч. каждому отрезку сопоставляется определенное положительное Д. ч.- его длина. Образно говоря, непрерывность множества Д. ч. означает, что в нем нет «пустых мест». Из непрерывности множества Д. ч. следует, что из всякого положительного числа можно извлечь корень тг-й степени (и - натуральное число) и что всякое положительное число имеет логарифм по любому основанию a > 0, a ≡ 1.

Свойство непрерывности Д. ч. можно сформулировать иначе.

VI'. Всякое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань (см. Верхняя и нижняя грани).

Можно использовать также понятие сечения А|В в области Д. ч. (см. Дедекиндово сечение). Говорят, что сечение А|В производится числом α, если а ≤ α ≤ b для всех а ∈ А, b ∈ В (при этом либо α ∈ А, либо α ∈ В). Всякое число производит сечение.

Свойство непрерывности, наз. непрерывностью Д. ч. по Дедекинду, состоит в справедливости обратного утверждения.

VI''. Всякое сечение Д. ч. производится нек-рым числом. Такое число единственно и является либо наибольшим в нижнем классе, либо наименьшим в верхнем.

Каждое из утверждений VI, VI' и VI'' равносильно каждому из остальных в том смысле, что из каждого из них, принятого за аксиому (и остальных свойств I-V), вытекают два других. Более того, как из свойства VI', так и из свойства VI'' (и свойств I-IV) вытекает не только VI, но и архимедово свойство V. Определение Д. ч. как совокупности элементов, обладающих свойствами I-VI, является аксиоматич. построением теории Д. ч. Существует несколько методов построения этой теории на основе рациональных чисел.

Первая такая теория была построена Р. Дедекиндом на основе понятия сечения R₁|R₂ в области рациональных чисел. Если для данного сечения R₁|R₂ рациональных чисел в R₁ есть наибольшее рациональное число или в R₂ наименьшее, то говорят, что сечение R₁|R₂ производится этим числом. Всякое рациональное число производит сечение. Сечение, у к-рого в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего, наз. иррациональным числом. Рациональные и иррациональные числа наз. действительными числами, при этом для единообразия рациональные числа рассматриваются как сечения, к-рые они производят.

Пусть x = R₁|R₂ и х' = R'₁|R'₂. Д. ч. х наз. меньшим Д. ч. х' (или, что то же самое, х' наз. большим х), если R₁ ⊂ R'₁, R₁ ≠ R₂. Обычным образом вводятся понятия положительных, отрицательных Д. ч. (см. выше) и абсолютной величины |x| Д. ч. х. Суммой Д. ч. х и х' наз. такое число х + х', что для всех r₁ ∈ R₁, r'₁ ∈ R'₁, r₂ ∈ R₂, r'₂ ∈ R'₂ выполняются неравенства

r₁ + r'₁ ≤ x + x' ≤ r₂ + r'₂.

Произведением положительных Д. ч. х и х' наз. такое число хх', что для всех положительных r₁, r'₁, r₂, r'₂ выполняются неравенства rr'₁ ≤ xx' ≤ r₂r'₂. Для произвольных Д. ч. х и х', не равных нулю, их произведение определяется как Д. ч., абсолютная величина к-рого равна |x||x'| и к-рое положительно, если х и х' одного знака, и отрицательно, если х и х' разных знаков. Наконец, для любого Д. ч. х полагается 0x = x0 = 0.

Сумма и произведение Д. ч. всегда существуют, единственны и вся совокупность таким образом определенных Д. ч. с введенным в них отношением порядка и операциями сложения и умножения обладает свойствами I - VI.

Другая теория была построена Г. Кантором с помощью понятия фундаментальной последовательностnи рациональных чисел, т. е. такой последовательности {r_n} рациональных чисел, что для любого рационального числа ε > 0 существует такой номер n_ε, что для всех n ≥ n_ε и m ≥ n_ε выполняется неравенство |r_n - r| < ε. Последовательность {r_n} рациональных чисел наз. нульпоследовательностью, если для любого рационального ε > 0 найдется такой номер n_ε, что для всех n ≥ n_ε справедливо неравенство |r_n| < ε. Две фундаментальные последовательности рациональных чисел {r_n} и {r'_n} наз. эквивалентными, если последовательность {r_n - r'_n} является нульпоследовательностью. Это определение эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, и потому все множество фундаментальных последовательностей рациональных чисел распадается на классы эквивалентности. Совокупность всех этих классов эквивалентности и наз. в этом случае множеством действительных чисел. В силу этого определения, всякое Д. ч. представляет собой класс эквивалентности фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Каждая из этих последовательностей наз. представителем данного Д. ч. Фундаментальная последовательность рациональных чисел {r_n} наз. положительной (соответственно отрицательной), если существует такое рациональное число r > 0, что все члены этой последовательности, начиная с нек-рого, больше, чем r (соответственно, меньше, чем r). Всякая фундаментальная последовательность рациональных чисел является либо нульпоследовательностью, либо положительной, либо отрицательной. Если фундаментальная последовательность рациональных чисел положительна (отрицательна), то и любая ей эквивалентная фундаментальная последовательность рациональных чисел также положительна (отрицательна). Д. ч. наз. положительным (отрицательным), если какой-то, а, следовательно, и любой его представитель положителен (отрицателен). Д. ч. наз. нулем, если нек-рый, а следовательно, и любой его представитель является нульпоследовательностью. Каждое Д. ч. либо положительно, либо отрицательно, либо нуль. Для того, чтобы сложить или умножить два Д. ч. х и х', надо сложить, соответственно умножить, два любых их представителя {r_n} ∈ х, {r'_n} ∈ х', тогда получатся снова фундаментальные последовательности рациональных чисел {r_n + r'_n} и {r_nr'_n}. Классы эквивалентности, представителями к-рых они являются, и наз. в этом случае суммой х + х' и произведением хх' данных чисел. Эти операции определены однозначно, т. е. не зависят от выбора представителей данных чисел. Вычитание и деление Д. ч. определяются как действия, обратные сложению и умножению. Если для двух Д. ч. х и у имеется х - y > 0, то Д. ч. х наз. большим Д. ч. y. Таким образом определенная совокупность Д. ч. с указанным соотношением порядка и операциями сложения и умножения снова удовлетворяет свойствам I-VI.

Еще одна теория Д. ч. была построена К. Вейерштрассом на основе бесконечных десятичных дробей. В этой теории действительным числом наз. всякая бесконечная десятичная дробь со знаком плюс или минус:

±α₀, α₁ α₂ ... α_n ...,

где α₀ - неотрицательное целое число (целые числа считаются известными), а α_n, n = 1, 2, ..., - одна из цифр 0, 1, 2, ..., 9. При этом бесконечная десятичная дробь с периодом из 9:

α₀, α₁ α₂ ... α_n (9), α_n ≠ 9,

считается равной бесконечной десятичной дроби

α₀, α₁α₂ ... α_n-1 (α_n+1) 000 ... 0 ...

(в случае n = 0 равной бесконечной десятичной дроби (α₀ + 1), 000 ... 0 ...). Эта дробь записывается также как конечная десятичная дробь

α₀, α₁α₂ ... (α_n+1), и говорится, что она имеет n значащих цифр после запятой. Бесконечная десятичная дробь, не имеющая периода (9), наз. допустимой бесконечной десятичной дробью. Очевидно, что всякое Д. ч. уже единственным образом записывается в виде допустимой бесконечной десятичной дроби. Если Д. ч. х записывается с помощью допустимой бесконечной десятичной дробью со знаком плюс (минус) и среди цифр α_n имеется хоть одна отличная от нуля, то х наз. положительным (отрицательным) Д. ч. и пишется x > 0 (х < 0), а если все α_n = 0, n = 0, 1, 2, ..., то - нулем: х = 0. Для числа

x = ± α₀, α₁α₂ ... α_n ...

число α₀, α₁α₂ ... α_n ... наз. его абсолютной величиной и обозначается |х|, а число, у к-рого знак плюс (соответственно минус) заменен на минус (на плюс), наз. противоположным данному и обозначается -х. Если

x = α₀, α₁α₂ ... α_n ...

- допустимая бесконечная десятичная дробь, то число

x̲_n = α₀, α₁α₂ ... α_n,

соответственно число

x̅_n = α₀, α₁α₂ ... α_n + 10^-n,

наз. нижним, соответственно верхним, десятичным приближением порядка n числа х. Пусть х и у - два положительных числа, записанных с помощью допустимых бесконечных десятичных дробей

x = α₀, α₁α₂ ... α_n ...

и

y = β₀, β₁β₂ ... β_n ...

По определению, полагают х < y, если либо α₀ < β₀, либо существует такой номер n₀, n₀ = 0, 1, ..., что α_k = β_k, k =0, 1, ..., n₀, а α_n0 < β_n0. Каждое отрицательное число и нуль считаются меньше всякого положительного числа. Если х и у оба отрицательны и |y| < |x|, то полагают, что х < у.

Последовательность целых чисел n_k, k = 1, 2, ..., наз. стабилизирующейся к числу m, если существует такой номер k₀, что n_k = m при всех k ≥ k₀. Последовательность бесконечных десятичных дробей

x = α^(k)₀, α^(k)₁α^(k)₂ ... α^(k)_n ...

наз. стабилизирующейся к числу

х = α₀, α₁α₂ ... α_n ...,

если i-й столбец бесконечной матрицы ||α^(k)_i||, i - номер столбца, k - строчки, стабилизируется для любого i = 0, 1, 2 к числу α_i. Если х > 0 и y > 0, то конечные десятичные дроби

x̲_n + y̲_n, x̲_n - y̲_n, (x̲_ny̲_n)_n и (x̲_n/y̲_n)_n

имеют n значащих цифр после запятой и образуют последовательности, стабилизирующиеся к нек-рым числам. Эти числа и наз. соответственно суммой х + у, разностью х - у, произведением ху и частным x / y. Д. ч. х и у. Эти определения распространяются на Д. ч. произвольных знаков. Напр., если x ≤ 0 и y ≤ 0, то х + у = -(|x| + |y|), если х и у разных знаков, то х + у = ±||х| - |у||, где выбирается знак, одинаковый со знаком того из чисел х или у, абсолютная величина к-рого наибольшая. Для любых чисел х и у полагают х - у = х + (-у) (в случае x > 0, y > 0 это определение совпадает с выше сформулированным) и т. д. Совокупность допустимых бесконечных десятичных дробей с таким образом определенными соотношениями порядка, операциями сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяет аксиомам I-VI.

При построении теории Д. ч. можно пользоваться не только десятичной системой счисления, но и другими: двоичной, троичной и т. д. Существенно, что ни при одном из приведенных выше построений теории Д. ч. (аксиоматическом, с помощью сечений рациональных чисел, на базе фундаментальных последовательностей рациональных чисел или на основе бесконечных десятичных дробей) не доказывается существование (непротиворечивость) множества Д. ч. С этой точки зрения все эти методы равноправны.

Геометрически множество Д. ч. изображается направленной (ориентированной) прямой, а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность Д. ч. часто наз. числовой прямой, а отдельные числа - точками. Имея в виду такое изображение Д. ч., иногда вместо а меньше b (соответственно b больше а) говорят, что число а лежит левее числа b (соответственно, что b лежит правее а). Между точками геометрической (евклидовой) прямой, упорядоченными по их положению, и элементами числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок. Это обстоятельство и является оправданием изображения множества Д. ч. в виде прямой.

Лит.: [1] Dеdеkind R., Stetigkeit und irrationale Zahlen, Braunschweig, 1872 (рус. пер.- Дедекинд Р., Непрерывность и иррациональные числа, 3 изд., Одесса, 1914); [2] Dаntsсhеr V., Vorlesungen über die Weierstrass'sche Theorie der irrationalen Zahlen, Lpz., 1908; [3] Gantоr G., «Math. Ann.», 1872, Bd 5, S. 123-30; [4] Немыцкий В. В., Слудская М. И., Черкасов А. Н., Курс математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1957; [5] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, т. 1, 3 изд., М., 1971; [6] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973; [7] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1, М., 1973; [8] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969; [9] Бурбаки Н., Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, пер. с франц., М., 1969, гл. 4.

Л. Д. Кудрявцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.