ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ

ДЕЙСТВИЕ ГРУППЫ на многообразии - наиболее изученный случай общего понятия действия группы на пространстве. Топологич. группа G действует на пространстве X, если каждому g ∈ G поставлен в соответствие гомеоморфизм φ_g. пространства X (на себя), удовлетворяющий условиям: 1) φ_g⋅φ_h = φ_gh; 2) для единицы e ∈ G отображение φ_e есть тождественный гомеоморфизм; 3) отображение φ: G × X → X, φ(g, x) = φ_g(x) непрерывно. В случае, когда X и G обладают дополнительными структурами, особый интерес представляют Д. г. G, учитывающие эти структуры; напр., если X - дифференцируемое многообразие, G - группа Ли, то отображение φ обычно предполагается дифференцируемым.

Множество {φ_g(x₀)}_g∈G наз. орбитой (траекторией) точки х₀ ∈ X относительно группы G; пространство орбит обозначается X/G и наз. также факторпространством пространства X по группе G. Важным примером является случай, когда X есть группа Ли, а G - ее подгруппа; тогда X/G есть соответствующее однородное пространство. Классические примеры: сферы S^n-1 = O(n)/O(n-1), Грассмана многообразия O(n)/O(m) × О(n-m), Штифеля многообразия O(n)/O(m). Здесь пространство орбит есть многообразие. Обычно же это не так, если действие группы не является свободным, напр., если множество Х^G неподвижных точек непусто. При этом под свободным действием группы понимается действие, при к-ром из gx = x, х ∈ Х, g ∈ G следует g = e. В противоположность этому, Х^G будет многообразием, если X - дифференцируемое многообразие, а действие группы G дифференцируемо; это утверждение верно и для когомологич. многообразий над ℤ_p для G = ℤ_p (теорема Смита).

Если G - некомпактная группа, то пространство X/G, вообще говоря, неотделимо, и поэтому интерес представляет индивидуальное изучение траекторий и их взаимного расположения. Классическим является пример группы G = ℝ действительных чисел, действующей дифференцируемым образом на дифференцируемом многообразии X. Изучение таких динамич. систем, эквивалентных заданию систем обыкновенных дифференциальных уравнений в локальных координатах, проводится в основном аналитич. методами.

В случае компактной группы G существует предположение, что если X - многообразие, а каждое g ∈ G, g ≠ e действует на X нетривиально (т. е. не является действием по закону (g, х) → х), то G есть группа Ли (см. [8]). Поэтому интерес к случаю действия компактной группы концентрируется вокруг действия группы Ли.

Пусть G - компактная группа Ли, X - компактное когомологич. многообразие. Типичными являются следующие результаты. В X существует конечное число типов орбит, окрестности орбиты устроены как прямое произведение (теорема о срезе), имеют место представляющие интерес связи между когомологич. строением пространств X, X/G, X^G.

Если G - компактная группа Ли, X - дифференцируемое многообразие, а действие φ: G × X → X

дифференцируемо, то естественным является отношение эквивалентности: (X, φ) ~ (Х', φ') ⇔ найдутся такие (X'', 'φ'), что граница ∂Х'' имеет вид ∂Х'' = X ∪ X' и что φ''|Х = φ, φ''|Х' = φ'. В случае свободного действия группы G классы эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с бордизмами Ω_*(B_G) классифицирующего пространства B_G.

Результаты последних лет (сер. 70-х гг.) концентрируются в основном вокруг: 1) определения типов орбит при различных дополнительных предположениях о группе G и многообразии X (см., напр., [6]), 2) классификации Д. г., 3) отыскания связей между глобальными инвариантами многообразия X и локальными свойствами Д. г. G в окрестности неподвижных точек Х^G. В решении этих вопросов важную роль играют методы современной дифференциальной топологии (напр., перестройки), аналог K-теории для векторных G-pacслоений - K_G-теория [1], теории бордизмов и кобордизмов [3], аналитич. метод исследования Д. г. G, основанным на изучении псевдодифференциальных операторов в G-расслоениях (см. [2], [7]).

Лит.: [1] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Атья М., Зингер И., «Успехи матем. наук», 1969, т. 24, № 1, с. 127-82; [3] Бухштабер В. М., Мищенко А. С., Новиков C. П., «Успехи матем. наук» ,1971, т. 26, в. 2, с. 131 - 54; [4] Коннер П., Флойд Э., Гладкие периодические отображения, пер. с англ., М., 1969; [5] Вrеdon G., Introduction to Compact Transformation Groups, N. Y., 1972; [6] Wu Yi Hsiang, Cohomology Theory of Topological Transformation Groups, N. Y., 1975; [7] Zagier don В., Equivariant Pontrjagin Classes and Applications to orbit Spaces, 1972; [8] Proceedings of the Conference in Transformation Groups, N. Y. - Hdlb. - L., 1968; [9] Proceedings of the Second Conference on Compact Transformation Groups, В.-Hdlb.-N. Y., 1972.

А. В. Зарелуа.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.