ДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ

ДЕЗАРГОВА ГЕОМЕТРИЯ, геометрия дезаргова пространства, - геодезических геометрия, в к-рой роль геодезических играют обыкновенные прямые. Точнее, дезарговым пространством R наз. G-пространство, допускающее такое топологич. отображение в проективное пространство pⁿ, что каждая геодезическая R отображается в прямую pⁿ.

Для того чтобы R было дезарговым пространством, необходимо и достаточно, чтобы:

1) геодезическая, проходящая через две различные точки, была единственна;

2) при dim R = 2 выполнялось Дезарга предложение, и обратное ему, если только существуют все пересечения, имеющиеся там;

3) при dim R > 2 любые три точки R лежали в одной плоскости.

При этом R, отображенное в Рⁿ, либо покрывает все Рⁿ, и в этом случае геодезические R являются окружностями одной и той же длины, либо R не содержит ни одной точки нек-рой гиперплоскости и может рассматриваться как открытая выпуклая область аффинного пространства.

В римановом случае единственными Д. г. являются евклидова, гиперболич. и эллиптич. геометрии, т.е. из дезаргова характера пространства следуют весьма сильные свойства подвижности (теорема Бельтрами). Это - пример поразительной теоремы римановой геометрии, не имеющей аналога в более общих пространствах. При достаточно сильных условиях дифференцируемости был дан метод построения Д. г., однако окончательное и общее решение этой, так наз. 4-й проблемы Гильберта о метризации проективного пространства или его выпуклых подобластей без какого-то ни было предположения регулярности, дал А. В. Погорелов [2]. Другой пример Д. г., ценный для изучения пространств неположительной кривизны, доставляет Гильберта геометрия.

Важным примером неримановых Д. г. является Минковского геометрия, к-рую можно рассматривать как прототип всех неримановых геометрий (в т. ч. финслеровой геометрии).

Лит.: [1] Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; [2] Погорелов А. В., Четвертая проблема Гильберта, М., 1974.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.