ДЕЗАРГА ПРЕДЛОЖЕНИЕ

ДЕЗАРГА ПРЕДЛОЖЕНИЕ, теорема Дезарга: если соответствующие стороны двух треугольников ABC и А'В'С' пересекаются в точках Р, Q, R, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке; обратно: если прямые, соединяющие соответствующие вершины треугольников ABC и А'В'С', сходятся в одной точке, то соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Обратное утверждение для треугольников, лежащих в одной плоскости, двойственно прямому по малому принципу двойственности. В обоих случаях точки и прямые составляют конфигурацию Дезарга (конфигурацию 103), расположенную в нек-ром двумерном или трехмерном проективном пространстве.

Если оба треугольника принадлежат одной проективной плоскости, то Д. п. нельзя доказать лишь на основе аксиом инцидентности плоскости (см. Недезаргова геометрия), однако оно справедливо на любой проективной плоскости, к-рую можно вложить в проективное пространство большей размерности. Пространственный случай Д. п. следует из аксиом инцидентности пространства.

Выполнение Д. п. необходимо и достаточно для построения проективной алгебры точек проективной прямой и введения синтетическим путем проективных координат. Д. п. установлено Ж. Дезаргом [1].

М. И. Войцеховский.

В теоретико-структурных терминах (см. Решетка) Д. п. может быть сформулировано в виде тождества (см. [4])

[(x + z)(y + u) + (x + u)(y + z)](x + y) ≤ [(y + x)(z + u) + (y + u)(z + x)](y + z) + [(z + y)(x + u) + (z + u)(x + y)](z + x).

Л. Л. Скорняков.

Лит.: [1] Bosse A., Maniére universelle de m-r Desargues, pour pratiquer la perspective par petit-pied comme le géométral, P., 1648; [2] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948; [3] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 5 изд., М., 1971; [4] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.