НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ДЕДЕКИНДОВО КОЛЬЦО

ДЕДЕКИНДОВО КОЛЬЦО - ассоциативное коммутативное кольцо R с единицей, не содержащее делителей нуля (т. е. коммутативная область целостности), в к-ром каждый собственный идеал представим в виде произведения простых идеалов (идеал Р кольца R наз. простым, если факторкольцо R/P не содержит делителей нуля). Свое название эти кольца получили по имени Р. Дедекинда (R. Dedekind), к-рый в числе первых изучал такие кольца в 70-х гг. 19 в.

Каждая область главных идеалов является Д. к. Если R есть Д. к., L - конечное алгебраич. расширение его поля частных, то целое замыкание R' кольца R в L (т. е. совокупность элементов из L, являющихся корнями уравнений вида хn + a1xn-1 + an = 0, ai ∈ R) снова будет Д. к. В частности, дедекиндовыми являются кольцо целых алгебраич. чисел и максимальные порядки полей алгебраич. чисел, т. е. целые замыкания кольца целых чисел в конечных алгебраич. расширениях поля рациональных чисел.

В Д. к. R каждый собственный идеал обладает единственным представлением в виде произведения простых идеалов. Эта теорема возникла из задачи о разложении элементов на простые множители в максимальных порядках полей алгебраич. чисел. Такое разложение, вообще говоря, не единственно.

Кольцо R дедекиндово тогда и только тогда, когда полугруппа дробных идеалов этого кольца является группой. Каждый дробный идеал Д. к. R обладает единственным представлением в виде произведения степеней (положительных или отрицательных) простых идеалов кольца R. Д. к. обладает следующей характеризацией: коммутативная область целостности является Д. к. тогда и только тогда, когда R есть нётерово кольцо, каждый собственный простой идеал кольца R максимален и R целозамкнуто, т. е. совпадает со своим целым замыканием в поле частных. Другими словами, Д. к. есть нётерово нормальное кольцо размерности один по Круллю. Для Д. к. R выполняется так наз. «китайская теорема об остатках»: для данного конечного набора идеалов и элементов хi кольца R, i = 1, 2, ..., n, система сравнений x ≡ xi(mod Ii) имеет решение х ∈ R тогда и только тогда, когда xi ≡ xj(mod Ii + Ij) для i ≠ j. Д. к. R можно охарактеризовать также как Крулля кольцо размерности один. Каждое Д. к. является регулярным коммутативным кольцом и все его локализации по максимальным идеалам есть дискретного нормирования кольцо. Полугруппа ненулевых идеалов Д. к. R изоморфна полугруппе Р дивизоров этого кольца.

Лит.: [1] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М., 1963; [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [3] Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, М., 2 изд., 1972; [4] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971.

Л. А. Бокуть.


Источники:

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru