ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА

ДЕДЕКИНДОВА РЕШЕТКА, дедекиндова структура, модулярная решетка (структура),- решетка, в к-рой справедлив модулярный закон, т. е. а ≤ с влеяет (а + b)с = а + bс для всякого b. Высказанное требование равносильно справедливости тождества (ac + b)c = ac + bc. Примерами Д. р. служат решетки подпространств линейного пространства, нормальных делителей (но не подгрупп) группы, идеалов кольца и др. Решетка, имеющая композиционный ряд, является Д. р. тогда и только тогда, когда на ней существует функция размерности d, т. е. такая целочисленная функция, что d (x + y) + d(xy) = d(x) + d(y) и что из простоты интервала [а, b] вытекает d(b) = d(a) + 1. Если w = a⁽¹⁾₁, ..., a⁽¹⁾_m1 = a⁽²⁾₁, ..., a⁽²⁾_m2, каждый из элементов a^(k)_i не представим в виде произведения отличных от него элементов и

a^(k)₁ ... a^(k)_i-1 a^(k)_i+1 ... a^(k)_mk ≤ a^(k)_i,

то m₁ = m₂ и для всякого a⁽¹⁾_i найдется такой элемент a⁽²⁾_j, что

w = a⁽¹⁾₁ ... a⁽¹⁾_i-1a⁽²⁾_ja⁽¹⁾_i+1 ... a⁽¹⁾_m1

(см. [3], [6]). Ненулевые элементы a₁, ..., a_n из Д. р. с нулем 0 называются независимыми, если (a₁ + ... + a_i-1 + a_i ... + a_n)а_i = 0 для всех i. Это определение позволяет обобщить многие свойства линейно независимых систем векторов (см. [3], [5], [6]). Если a₁, ..., a_n независимы, то их сумма обозначается как a₁ ⊕ ... ⊕ a_n. Теорема Ope: если Д. р. имеет композиционный ряд и

1 = a⁽¹⁾₁ ⊕ ... ⊕ a⁽¹⁾_m1 = a⁽²⁾₁ ⊕ ... ⊕ a⁽²⁾_m2,

причем каждый из элементов а^(k)_i не представляется в виде суммы двух независимых элементов, то m₁ = m₂ и для всякого а⁽ⁱ⁾_i найдется такой элемент а⁽²⁾_j, что

1 = а⁽¹⁾₁ ⊕ ... ⊕ а⁽¹⁾_i-1 ⊕ а⁽²⁾_j ⊕ а⁽¹⁾_i+1 ⊕ ... ⊕ а⁽¹⁾_m1

(см. [3], [6]). В случае полных Д. р., подчиненных нек-рым дополнительным требованиям, теоремы о независимых элементах и прямых разложениях можно распространить на бесконечные множества (см. [4], [5]). Исследовались Д. р. с дополнениями, то есть Д. р. с 0 и 1, для каждого элемента х к-рых существует хотя бы один такой элемент у (наз. дополнением элемента х), что х + у = 1, ху = 0. Д. р. с дополнениями, обладающая композиционным рядом, изоморфна Д. р. всех подпространств конечномерного линейного пространства над нек-рым телом. Полная Д. p. L с дополнениями изоморфна Д. р. всех подпространств линейного пространства (не обязательно конеяномерного) над нек-рым телом тогда и только тогда, когда: а) если 0 ≠ a ∈ L, то найдется атом р ≤ a; б) если р - атом и p ≤ sup A, где А ⊆ L, то p ≤ sup F для нек-рого конечного множества Е ⊆ А; в) если р, q - атомы, то найдется атом r ≤ p + g, причем r ≠ p, q; г) существует не менее трех независимых атомов. Условие г) можно заменить требованием справедливости Дезарга предложения (см. [2]). Дальнейшее обобщение этого результата, приводящее к регулярным кольцам (см. [7], [5]), смыкается с теорией алгебр Неймана. Для Д. р. с композиционным рядом наличие дополнений равносильно представимости единицы в виде суммы атомов.

Д. р. названы в честь Р. Дедекинда, к-рый первым сформулировал модулярный закон и установил ряд его следствий [1].

Лит.: [1] Dedekind R., Gesammelte mathematische Werke, Bd 2, Braunschweig, 1931, S. 236-71; [2] Бэр P., Линейная алгебра и проективная геометрия, пер. с англ., М., 1955; [3] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [4] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [5] Скорняков Л. А., Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца, М., 1961; [6] его же, Элементы теории структур, М., 1970; [7] Neumann J. von, Continuous geometry, N. Y., 1960.

Л. А. Скорняков.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.