ДВУЧЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ

ДВУЧЛЕННОЕ СРАВНЕНИЕ - алгебраическое сравнение вида

х^т ≡ a (mod m), (1)

где а, m - взаимно простые целые числа, а n ≥ 2 - натуральное число. Если сравнение (1) разрешимо, то а наз. вычетом степени n по модулю m. В противном случае а наз. невычетом степени n по модулю m.

Вопрос о разрешимости Д. с. по составному модулю m сводится к изучению аналогичного вопроса для случая простого модуля р (см. Сравнение). Для простого модуля имеется критерий разрешимости, доказанный Л. Эйлером (L. Euler): для разрешимости сравнения

хⁿ ≡ a (mod р)

необходимо, чтобы выполнялось условие

a^(p-1)/δ ≡ 1 (mod p),

где δ - наибольший общий делитель чисел n и р - 1; при выполнении этого условия данное сравнение имеет ровно δ решений.

Из критерия Эйлера непосредственно следует, что среди чисел 1, 2, ..., р - 1 имеется в точности (р-1)/δ вычетов и (δ - 1)(р - 1)/δ невычетов степени n по модулю р.

Значительно сложнее обратная задача: найти все модули р, по к-рым заданное число а является вычетом (или невычетом) степени n ≥ 2. Л. Эйлером установлено, что разрешимость или неразрешимость сравнения х² ≡ a(mod р) зависит от того, принадлежит или нет простой модуль р некоторым арифметич. прогрессиям. Полное доказательство этого результата впервые получил К. Гаусс (С. Gauss, 1801; см. [4], а также Гаусса закон взаимности, Квадратичный закон взаимности). Более того, К. Гаусс заметил, что полное решение указанной задачи при n ≥ 3 возможно только в нек-ром расширении кольца целых рациональных чисел. Так, для установления закона взаимности для биквадратичных вычетов он вынужден был расширить кольцо целых рациональных чисел до кольца целых комплексных чисел Z[i]. Разрешимость или неразрешимость биквадратичного сравнения x⁴ ≡ ω(mod р) в кольце Z[i] при заданном ω ∈ Z[i] зависит от того, каков вычет числа р по нек-рому постоянному модулю D кольца Z[i].

Новый этап в изучении Д. с. и их применений к другим задачам теории чисел был начат работами И. М. Виноградова, к-рый в 1914 доказал, что количество R квадратичных вычетов по простому модулю р среди чисел 1, 2, ..., Q, Q ≤ p - 1, выражается формулой

R = 1/2 Q + θ √p ln p,

где |θ| ≤ 1. Аналогичный результат был впоследствии получен И. М. Виноградовым и для более общей задачи о числе решений сравнения

хⁿ ≡ у (mod р), n ≥ 2,

когда у пробегает неполную систему вычетов 1 ≤ y ≤ Q.

Лит.: [1] Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.-Л., 1937; [2] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [3] его же, Избр. труды, М., 1952; [4] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, [пер.], М., 1959.

С. А. Степанов.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.