ДВУХ ТЕЛ ЗАДАЧА

ДВУХ ТЕЛ ЗАДАЧА - задача о движении в трехмерном евклидовом пространстве Е³ двух материальных точек Р₁ и Р₂ с массами m₁ и m₂ под действием ньютонова притяжения. Д. т. з. является частным случаем задачи n тел, к-рая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 6n и имеет 10 независимых интегралов: 6 - движения центра инерции, 3 - площадей и 1 - энергии (см. [1]). Д. т. з. имеет, кроме того, еще три интеграла Лапласа (из них один независим от предыдущих) и является полностью интегрируемой (см. [2]).

Интегрирование Д. т. з. удобнее производить в специальных системах координат, использующих указанные интегралы. Если начало декартовых координат х, у, z поместить в точку Р₁ (при этом используются все 6 интегралов движения центра инерции) и ось z направить по вектору, составленному из интегралов площадей (при этом используются два интеграла площадей), то движение точки Р₂ происходит в плоскости z = 0 и удовлетворяет системе

ẍ = -μxr^-3, ÿ = -μyr^-3, (1)

где r = √(x² + y²), μ = f(m₁ + m₂), f - гравитационная постоянная. Система (1) имеет 4 интеграла:

хẏ - уẋ = с (площадей),

1/2 (ẋ + ẏ) - μr^-1 = h (энергии),

cỳ - μxr^-1 = λ₁ и cữ - μyr^-1 = -λ₂ (Лапласа),

связанных соотношением

λ²₁ + λ²₂ = 1 + 2hc².

При этом

c² = λ₁x + λ₂y + μr, (2)

т. е. орбиты точки Р² суть конич. сечения с параметром р = с²/μ, большой полуосью а = -μ/(2h), эксцентриситетом e = μ^-1√(1 + 2hc²), долготой перицентра ω (λ₁ = μe cos ω, λ₂ = μе sin μ)

и с фокусом в начале координат. Положение точки Р₂ на орбите определяют истинной аномалией v, отсчитываемой от направления на перицентр; тогда (2) дает r = p/(1 + e cos v). Если с ≠ 0, то возможны три типа орбит

(I) при h < 0 это - эллипсы, тогда

t - τ = √а³ (u - е sin u),

tg(v/2) = √((1 + e) / (1 - e)) tg(u/2);

(II) при h > 0 это - гиперболы, тогда

t - τ = √а³ (е sh u - u),

tg(v/2) = √((e + 1) / (e - 1)) th(u/2)

(III) при h = 0 это - параболы, тогда

Здесь τ - момент прохождения через перицентр, u - эксцентрическая аномалия. Если c = 0, то движение происходит по прямой линии. Д. т. з. описывает невозмущенное кеплерово движение планеты относительно Солнца либо спутника относительно планеты и т. п.

Лит.: [1] 3игель К. Л., Лекции по небесной механике, пер. с нем., М., 1959; [2] Абалакин В. К. (и др.), Справочник по небесной механике и астродинамике, М., 1971.

А. Д. Брюно.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.