ДВУХ КОНСТАНТ ТЕОРЕМА

ДВУХ КОНСТАНТ ТЕОРЕМА - пусть D - конечно-связная жорданова область на плоскости комплексного переменного z, w(z) - регулярная аналитич. функция в D, удовлетворяющая неравенству | w(z)| ≤ M, причем на нек-рой дуге α границы ∂D выполняется соотношение

lim_z→ζ sup |w(z)| ≤ m < M, z ∈ D, ζ ∈ α;

тогда в каждой точке z множества

{z ∈ D; 0 < λ ≤ ω (z; α, D) < 1},

где ω(z; α, D) - гармоническая мера дуги α относительно D в точке z, выполняется неравенство

|w(z)| ≤ m^λ ⋅ M^1-λ

Если для нек-рого z (удовлетворяющего условию ω(z; α, D) = λ) достигается равенство, то оно сохраняется и для всех z ∈ D и всех λ, 0 ≤ λ ≤ 1, а функция w(z) в этом случае имеет вид

w(z) = e^iam^φ(z)M^1-φ(z),

где а - действительное число, φ(z) - аналитич. функция в D, для к-рой Reφ(z) = ω(z; α, D) (см. [1], [2]).

Д. к. т. дает количественное выражение граничного свойства единственности аналитич. функций и имеет важные применения в теории функций [3]. Адамара теорема о трех кругах получается из нее как частный случай. О возможных аналогах Д. к. т. для гармонич. функций в пространстве см. [4], [5].

Лит.: [1] Nevanlinna F. und R., «Acta Soc. scient. fennica», 1922, Bd 50, № 5; [2] Оstrоwski A., «Jahresber. Dtsch. Math. Ver.», 1923, Bd 32, H. 9-12; [3] Heванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.-Л., 1941; [4] Мергелян С. Н., «Успехи матем. наук», 1956, т. 11, в. 5, с. 3-26; [5] Соломенцев Е. Д., «Докл. АН Арм. ССР», 1966, т. 42, № 5, 274-78.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.