НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ДВУМЕРНЫЙ УЗЕЛ

ДВУМЕРНЫЙ УЗЕЛ - класс изотопных вложений двумерной сферы S2 в четырехмерную S4. Чисто топологич. теория не развита, ибо еще не выяснено (1978) соотношение чистой и кусочно линейной топологии в размерности 4. Обычно накладывается условие локальной плоскостности. Метод изучения - рассмотрение сечений S2 пучком параллельных трехмерных плоскостей. Основным является вопрос о том, будет ли узел тривиален, если его группа π(S4\S2) изоморфна ℤ. Известно, что в этом случае дополнение S4\S2 имеет гомотопич. тип S1.

3-лентой в S4 наз. образ D3 такой иммерсии φ : Δ3 → S4, где Δ3 - трехмерный диск, что φ|∂Δ3 вложение; самопересечения φ состоят из конечного числа попарно непересекающихся двумерных дисков D1, ..., Dn; прообраз φ1(Di) каждого диска Di является объединением двух таких дисков D'i и D''i, что

D'i ∩ D''i = 0, D'i ⊂ int Δ3, ∂D''i = D''i ∩ ∂Δ3. Образ края ∂Δ3 является двумерным узлом в S4. Так получаемые узлы наз. ленточными узлами. Это - один из наиболее изученных классов Д. у. Всякий ленточный Д. у. является границей нек-рого трехмерного подмногообразия сферы S4, гомеоморфного либо диску Δ3, либо связной сумме нек-рого числа (S1 × S2)\Δ3. Ленточный Д. у. тривиален тогда и только тогда, когда фундаментальная группа его дополнения изоморфна ℤ Группа G тогда и только тогда является группой нек-рого ленточного Д. у. в S4, когда она имеет копредставление Виртингера, т. е. копредставленне x1, ..., xn : r1, ..., rm|, где каждое соотношение имеет вид xi = ωi,jxjω-1i,j, в к-ром число соотношений на единицу меньше числа образующих в G/[G, G] = ℤ.

Класс групп всех Д. у. полностью не описан. Известно, что этот класс шире класса групп k-мерных узлов в Sk+2, k ≥ 3. Последний класс полностью охарактеризован (см. Многомерный узел). Свойства групп Д. у., к-рыми, вообще говоря, не обладают группы трехмерных узлов в S5, таковы:

dim H(G', ℚ) ≤ dim H1(G', ℚ),

где G' = [G, G] - коммутант; на конечной группе T = Tors(G'/G'') существует такая невырожденная симметричная форма L : T ⊗ T → ℚ/ℤ, что для любых m ∈ G, х, у ∈ Т имеет место L(x, y) = L(τx, τy), где τ : Т → Т - автоморфизм, индуцированный сопряжением в группе G на элемент m.

Задача вычисления π2(S4\S2) решена лишь для частных типов Д. у., напр. полученных конструкцией Артина, ленточных и расслоенных.

А. В. Чернавский, М. Ш. Фарбер.


Источники:

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru