ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ

ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ ОГРАНИЧЕННОЙ КРИВИЗНЫ - метрическое пространство, являющееся двумерным многообразием с внутренней метрикой, для к-рого определены аналоги таких понятий двумерной римановой геометрии, как длина и интегральная кривизна кривой, площадь н интегральная гауссова кривизна множества.

Частным случаем Д. м. о. к. являются двумерные римановы пространства и поверхности многогранников в трехмерном евклидовом пространстве. В общем случае класс Д. м. о. к. может рассматриваться как замыкание класса двумерных римановых многообразий относительно надлежащих предельных переходов.

Пусть М - двумерное риманово многообразие, К(х) - гауссова кривизна М в точке х; σ(Е) - площадь множества Е ⊂ М; для Е ⊂М кривизна:

ω(E) = ∫∫_E K(x) dσ(x),

абсолютная кривизна:

|ω|(E) = ∫∫_E |K(x)| dσ(x);

положительная часть кривизны множества Е: ω⁺(E) = ∫∫_E K⁺(x) dσ(x),

где К⁺(х) = mах {0, К(х)}. Если х и у - две точки риманова пространства М, то ρ(х, у) - нижняя грань длин кривых на М, соединяющих точки х и у. Функция ρ является внутренней метрикой. Она наз. естественной метрикой риманова пространства М.

Пусть М - произвольное двумерное многообразие с метрикой ρ. Говорят, что метрика ρ - риманова, если многообразие М, наделенное метрикой ρ, изометрично нек-рому двумерному риманову пространству, снабженному его естественной метрикой.

Двумерное многообразие М с внутренней метрикой ρ есть Д. м. о. к., если выполнено следующее условие. Существует последовательность римановых метрик ρ, П=1, 2, определенных на многообразии М, такая, что для всякого компактного множества A ⊂ M будет ρ → ρ равномерно (т. е. функции ρ{х, у) сходятся к функции ρ(х, у) равномерно на множестве А × А) и последовательность |σ_n|), n = 1, 2, ..., ограничена, где |ω_n| - абсолютная кривизна римановой метрики ρ_n. Д. м. о. к. может быть определено аксиоматически.

В части достаточности условия данного здесь определения Д. м. о. к. могут быть ослаблены. Именно, двумерное многообразие М с внутренней метрикой ρ будет Д. м. о. к., если для всякой его точки можно указать окрестности U и V, где V ⊂U и последовательность римановых метрик ρ, n = 1, 2, ..., определенных на U таким образом, что ρ_n → ρ равномерно на V, и последовательность {ω_n + (V)} ограничена.

Для всякого Д. м. о. к. определены вполне аддитивные функции множества σ(Е) и ω(E) - площадь и, соответственно, кривизна множества. В отличие от риманова случая, ω(Е) может и не быть абсолютно непрерывна относительно σ(Е). В Д. м. о. к. определено понятие поворота кривой - аналог понятия интегральной геодезич. кривизны кривой.

Всякая выпуклая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве есть Д. м. о. к. В этом случае кривизна множества всегда неотрицательна.

Д. м. о. к. допускают особенности типа коннч. точек р (для таких точек ω({р}) отлично от нуля), ребер, границы основания цилиндра и т. д.

Лит.: [1] Александров А. Д., Залгаллер В. А., Двумерные многообразия ограниченной кривизны, М.-Л., 1962; [2] Двумерные многообразия ограниченной кривизны, ч. 2, М.- Л., 1965 (Тр. Матем. ин-та АН СССР. т. 76).

Ю. Г. Решетняк.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.