ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ - однозначная аналитич. функция f(z), имеющая только изолированные особенности на всей конечной плоскости комплексного переменного z и такая, что существуют два числа p₁, p₂, отношение к-рых не является действительным числом и к-рые являются периодами f(z), т. е. p₁, p₂ таковы, что имеет место тождество

f(z + p₁) = f(z + p₂) = f(z).

(Если отношение р₁/р₂ действительно и рационально, то f(z) - однопериодич. функция; если оно - иррационально, то f(z) ≡ const.) Все числа вида mp₁ + np₂, где m, n - целые, также являются периодами f(z). Все периоды данной Д. ф. образуют дискретную абелеву группу по сложению, наз. группой периодов(или модулем периодов), базис к-рой (базис периодов) состоит из двух примитивных периодов 2σ₁, 2σ₃, Im(σ₁/σ₃) ≠ 0. Все остальные периоды этой Д. ф. представимы в виде 2mσ₁ + 2nσ₂, где m, n - целые. Не существует аналитич. функций, одного комплексного переменного, кроме констант, имеющих более двух примитивных периодов.

Точки вида 2mσ₁ + 2nσ₂, где m, n - целые, образуют решетку периодов, разбивающую всю плоскость z на параллелограммы периодов. Точки (числа) z₁, z₂, для к-рых

z₁ - z₂ = 2mσ₁ + 2nσ₂,

наз. конгруэнтными (сравнимыми по модулю периодов). В конгруэнтных точках Д. ф. f(z) принимает одно и то же значение, поэтому достаточно изучить поведение f(z) в к.-л. основном параллелограмме периодов. Обычно в качестве такового принимается множество точек

{z = z₀ + 2t₁σ₁ + 2t₃σ₃; 0 ≤ t₁ < 1, 0 ≤ t₃ < 1},

т. е. параллелограмм с вершинами

0, z₀ + 2σ₁, z₀ + 2σ₂ = z₀ + 2σ₁ + 2σ₃, z₀ + 2σ₃.

He существует отличной от константы Д. ф., регулярной во всем основном параллелограмме периодов. Мероморфные Д. ф. наз. эллиптическими функциями. Обобщение понятия эллиптич. функций на случай функций f(z₁, ..., z_n) от n ≥ 1 комплексных переменных носит название абелевых функций.

Лит.: [1] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, 2 изд., М., 1968, гл. 7; [2] Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер. с нем., М., 1968, ч. 2; [3] Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963, гл. 20; [4] Ахиезер Н. И., Элементы теории эллиптических функций, 2 изд., М., 1970.

Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.