ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС

ДВОЙСТВЕННЫЙ БАЗИС, дуальный базис, к базису {е₁, ..., е_n} модуля Е относительно формы f - такой базис {c₁, ..., c_n} модуля Е, что

f(e_i, c_i) = 1, f(e_i, c_j) = 0, i ≠ j, 1 ≤ i, j ≥ n,

где Е - свободный K-модуль над коммутативным кольцом К с единицей, а f - неособая билинейная форма на Е.

Пусть Еⁱ - модуль, сопряженный к Е, а {е^*₁, ..., е^*_n} - базис Е^*, сопряженный к исходному базису Е : e^*_i(e_i) = 1, е^*_i(е_i) = 0, i ≠ j. Тогда каждой билинейной форме f на Е отвечают отображения φ_f, ψ_f : Е → Е^*, определяемые равенствами

φ_f(x)(y) = f(x, y), ψ_f(x)(y) = f(y, x) Если форма f неособая, то каждое из отображений φ_f, ψ_f является изоморфизмом, и обратно. При этом двойственный к {е₁, ..., е_n} базис {c₁, ..., c_n} характеризуется тем свойством, что

ψ_f(c_i) = e^*_i (i = 1, ..., n).

Е. Н. Кузьмин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.