НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ

S-ДВОЙСТВЕННОСТЬ, стационарная

двойственность, Спеньера двойственность, - двойственность в теории гомотопии, имеющая место (при отсутствии ограничений на размерность пространств) для аналогов обычных гомотопич. и когомотопич. групп в надстроечной категории - для S-гомотопич. и S-когомотопич. групп или стационарных групп гомотопий и когомотопий, образующих экстраординарные (обобщенные) теории гомологии и когомологий. Надстроечной категорией, или S-категорией, наз. категория, объектами к-рой являются топологич. пространства X, а морфизмами - классы {f} S-гомотопных отображений f p-кратной надстройки SpX1 в SpX2, причем f и g: SqX1 → SqX2 считаются S-гомотопными, если существует такое r ≥ max(p, q), что надстройки Sr-pf Sr-pg гомотопны в обычном смысле. Множество {Х1, Х2} таких классов, наз. S-oтображениями, составляет абелеву группу (относительно так наз. колейного сложения, см. [1], [2], [4], [5]). Группа {Х1, Х2} есть предел прямого спектра множеств [SkХ1, SkХ2] обычных гомотопич. классов с надстроечными отображениями в качестве проекций, являющегося при достаточно больших к спектром групп с гомоморфизмами. Имеет место изоморфизм S : {Х1, Х2} → {SХ1, SХ2}, при к-ром соответствующие друг другу элементы представляются одним и тем же отображением SpX1 → SpX2, p ≥ 1. Полиэдром, n-двойственным к полиэдру X сферы Sn, наз. произвольный полиэдр DnХ в Sn, являющийся S-деформационным ретрактом дополнения Sn\X, т. е. если морфизм, соответствующий вложению DnX ⊂ Sn\X, есть S-эквивалентность. Полиэдр DnХ существует для каждого X, и можно рассматривать X как D2nX.

Для любых полиэдров Х1, Х2 и любых n-двойственных им полиэдров DnX1 и DnX2 существует единственное отображение

Dn: {X1, X2} → {DnX2, DnX1},

удовлетворяющее следующим условиям:

а) Оно является инволютивным контравариантным функториальным изоморфизмом, т. е. Dn есть такой гомоморфизм, что если

i : Х1 ⊂ Х2 и i' : DnX2 ⊂ DnX1

то

Dn{i) = {i'};

если

{f1} ∈ {X1, X2} и {f2} ∈ {X2, X3}

то

Dn({f2}⋅{f1}) = Dn{f1} ⋅ Dn(f2);

если θ - элемент из {Х1, Х2} или из {DnX2, DnX1}, то DnDnθ = θ.

б) Оно удовлетворяет соотношениям

SDn = Dn+1 и Dn+1S = Dn,

где SDnXj и DnXi рассматриваются как полиэдры, (n+1)-двойственные к полиэдрам Xi и, соответственно, SXi, i = 1, 2; это значит, что оно не зависит от n и стационарно относительно надстройки.

в) Оно удовлетворяет равенству

Dnaθ* = {Dnθ)*Dna, где

θ*: Hp(X1) → Hp(X2)

и

(Dnθ)* : Hn-p-1(DnX1) → Hn-p-1(DnX2)

- гомоморфизмы указанных групп гомологии и когомологии, индуцированные S-отображениями θ ∈ {Х1, Х2} и Dnθ, а

Da : Нpi) → Hn-p-1(DnXi), i = 1, 2, есть изоморфизм, к-рый получается из изоморфизма Александера двойственности заменой множества Sn\Xi его S-деформационным ретрактом DnXi.

Построение Dn опирается на представление данного отображения как композиции вложения и S-деформационной ретракции.

S-гомотопической группой Σp(Х) пространства X наз. группа {Sp, X}, а S-когомотопической группой Σp(Х) пространства X - группа {X, Sp}. Как и в обычной теории гомотопии, определяются гомоморфизмы

φp : Σp(X) → Hp(X),

φp : Σp(X) → Hp(X).

Рассмотрение сфер Sp и Sn-p-1 как n-двойственных приводит к изоморфизму

Dn: Σp(X) → Σn-p-1(DnX) и к коммутативной диаграмме

Таким образом, изоморфизм Dn связывает S-гомотопич. и S-когомотопич. группы подобно тому, как изоморфизм двойственности Александера Dna связывает группы гомологии и когомологии. Какая-либо двойственность в S-категории приводит к двойственности в случае обычных гомотопич. классов, если на пространство наложить требования, из к-рых следует наличие взаимно однозначного соответствия множества указанных классов с множеством S-гомотопических классов.

Примерами двойственных предложений в этой теории являются теорема Гуревича об изоморфизме и теорема классификации Хопфа. Dn переводит одну из этих теорем в другую, что означает замену S-гомотопич. групп S-когомотопическими, групп гомологии - группами когомологии, отображения φp - отображениями φn-p-1, наименьшей размерности с нетривиальной гомологич. группой - наивысшей размерностью с нетривиальной группой когомологии, и наоборот. В обычной теории гомотопии для определения n-когомотопич. группы требуется, чтобы размерность пространства не превышала 2n - 2 (или, более общо, чтобы пространство было (2n - 1)-косвязным, n > 1), что нарушает полную общность двойственности.

Теория обобщается в различных направлениях: напр., рассматриваются пространства, имеющие S-гомотопи-ческий тип полиэдров, относительный случай, теория с носителями и др. (см. [3], [5], [6], [7]). Она послужила одним из источников стационарной гомотопической теории [8].

Лит.: [1] Спаньер Э. Г., «Математика», 1959, т. 3, № 1, с. 17-25; [2] Sрaniеr Е. Н., Whitehead J. Н. С., «Mathematica», 1955, v. 2, № 3, p. 56-80; [3] их же, «Аnn. Math.», 1958, v. 67, № 2, p. 203-38; [4] Barratt M. G., «Рrоc. Lond. Math. Soc.», 1955, v. 5, p. 71 - 106, 285 - 329; [5] Спаньер Э. Г., Уайтхсд Дж. Г., «Математика», 1959, т. № 1, с. 27-56; [6] Экман В., Хилтон П., там же, 1960 т. 4, № 3, с. 3-27; [7] Спаньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [8] Уайтхед Дж., Новейшие достижения в теории гомотопий, пер. с англ., М., 1974.

Г. С. Чогошвили.


Источники:

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru