ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

ДВОЙНЫЕ И ДУАЛЬНЫЕ ЧИСЛА - гиперкомплексные числа вида а + bе, где а и b - действительные числа, и для двойных чисел е² = +1, а для дуальных чисел e² = 0. Сложение Д. и д. ч. определяется формулой

(a₁ + b₁e) + (a₂ + b₂e)= (а₁ + а₂) + (b₁ + b₂)e. Умножение двойных чисел производится по формуле

(a₁ + b₁e)(a₂ + b₂e)= (a₁a₂ + b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)e, а дуальных чисел - по формуле

(a₁ + b₁e)(a₂ + b₂e) = a₁a₂ + (a₁b₂ + a₂b₁)e.

Комплексные числа, двойные числа и дуальные числа наз. также комплексными числами гиперболического, эллиптического и параболического типов соответственно. Иногда при помощи этих чисел изображают движения трехмерных пространств Лобачевского, Римана и Евклида (см., напр., Винтовое исчисление).

Как двойные, так и дуальные числа образуют двумерные (с базой 1 и е) ассоциативно-коммутативные алгебры над полем действительных чисел. В отличие от поля комплексных чисел эти алгебры содержат делители нуля, причем в алгебре двойных чисел все делители нуля имеют вид a ≠ ae. Алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей действительных чисел. С этим свойством связано еще одно название двойных чисел - расщепляемые комплексные числа. Встречается и другое наименование двойных чисел - паракомплексные числа. Алгебра дуальных чисел рассматривается не только над полем ℝ действительных чисел, но и над произвольным полем или коммутативным кольцом. Пусть A - коммутативное кольцо с единицей и М есть А-модуль. Прямая сумма А-модулей А ⊕ M относительно умножения

(а, m)(а', m') = (аа', аm' + а'm)

является коммутативной А-алгеброй и обозначается I_A(М). Она наз. алгеброй дуальных чисел относительно модуля М. A-модуль М отождествляется с идеалом алгебры I_A(М), служащим ядром пополняющего гомоморфизма

ε : I_A(М) → А ((а, m) → а).

При этом квадрат М² данного идеала равен нулю, а I_A(М) / М ≃ А. Если А - регулярное кольцо, то верно и обратное: если В есть А -алгебра и М - идеал в В такой, что М² = 0 и В / М ≃ А, то В ≃ I_A(М), где М рассматривается как А-модуль (см. [4]).

При М = А алгебра I_A(М) (обозначаемая в этом случае I_A) изоморфна факторалгебре алгебры многочленов А(Т) по идеалу Т². Многие свойства A-модуля М можно переформулировать как свойства алгебры I_A(М), что позволяет сводить многие вопросы об А-модулях к соответствующим вопросам в теории колец (см. [2]).

Если В - произвольная A-алгебра, φ: В → А - гомоморфизм и ∂: В → М - дифференцирование В со значением в A-модуле М, рассматриваемом как В-модуль относительно гомоморфизма φ, то отображение ∂̅ :В → I_A(М) (b → (φ(b), ∂(b))) является гомоморфизмом A-алгебры. Обратно, для любого гомоморфизма A-алгебр f : В → I_A(М) композиция ε' ○ f: В → М, где ε': I_A(М) → М - проекция A на М, является A-дифференцированием В со значением в М, рассматриваемом как B-модуль относительно гомоморфизма ε ○ : В → А. Это свойство Д. и д. ч. используется для определения касательного пространства к произвольному функтору на категории схем [1], [3].

Лит.: [1] Мамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [2] Fossum R., Trivial extensions of abelian categories, В., 1975; [3] Schémas en groupes, I, B., 1970; [4] Lichtenbaum S., Schlessinger M., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1967, v. 128, № 1, p. 41-70.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.