ДВОЙНОЙ ПРЕДЕЛ

ДВОЙНОЙ ПРЕДЕЛ - 1) Д. п. последовательности, предел двойной последовательности {х_mn}, m, n = 1, 2, ..., - число а, определяемое следующим образом: для любого ε > 0 существует такое N_ε, что для всех m > N_ε и n > N_ε выполняется неравенство

|x_mn - a| < ε.

Обозначение:

а = lim_{m,n → ∞} x_mn. Если для любого ε > 0 существует такое N_ε, что для всех m > N_ε и n > N_ε выполняется неравенство |x_mn| > ε, то последовательность х_mn имеет своим пределом бесконечность:

lim_{m,n → ∞} х_mn = ∞. Аналогично определяются бесконечные пределы

lim_{m,n → ∞} x_mn = +∞ и lim_{m,n → ∞} x_mn = -∞. Д. п. последовательности является частным случаем Д. п. функции по множеству, а именно в случае, когда это множество состоит из точек плоскости с целочисленными координатами m и n. Поэтому между Д. п. последовательности и ее повторными пределами существует та же связь, что и в общем случае.

2) Д. п. функции - предел функции двух переменных, определяемый следующим образом. Пусть функция f(x, у) определена на множестве Е, расположенном в плоскости XOY, а (х₀, у₀) - его предельная точка. Число А наз. Д. п. функции f{x, у) в точке (х₀, у₀), или при (х, у) → (х₀, y₀), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек (х, у) ∈ Е, координаты к-рых удовлетворяют неравенствам

0 < |x - x₀| < δ, 0 < |у - у₀| < δ,

выполняется неравенство

|f(x, у) - А| < ε.

В этом случае пишут

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(х, у) = А. Используя понятие предела последовательности, определение Д. п. функции можно сформулировать следующим образом:

А = lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(х, у),

если для любой последовательности

(x_n, y_n) → (x₀,y₀), (x₀,y₀) ≠ (x_n,y_n) ∈ Е, n = 1, 2, ...,

выполняется условие

lim_n→∞ f(x_n, у_n) = А.

Аналогично формулируются определения Д. п. функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также определения бесконечных Д. п. функции.

Существует связь между Д. п. функции и повторным пределом функции в точке (x₀, у₀) или в ∞: пусть х₀ и у₀ - предельные точки (конечные или бесконечные) для числовых множеств X и Y, Е = X × Y. Если существует конечный или бесконечный Д. п. функции

lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(х, у)

н при любом у ∈ Y существует конечный предел

φ{y) = lim_x→x0 f(x, у), то существует и повторный предел

lim_y→y0 lim_x→x0 f(х, у) = lim_y→y0 φ(у),

и он равен Д. п. функции.

Используя понятие окрестности, определению Д. п. функции можно придать следующий вид: пусть а - предельная точка (x₀, у₀) множества Е или символ ∞, причем в последнем случае множество Е неограничено, А - число или один из символов ∞, +∞ , -∞, тогда

А = lim_{(x,y)→(x0,y0)} f(x, у),

если для любой окрестности О_A точки или символа А существует такая окрестность О_a числа или символа а, что для всех (x, у) ∈ Е ∩ О_a, (x, у) ≠ а, выполняется условие f(ж, у) ∈ О_A. В этом виде определение Д. п. функции переносится на случай, когда функция f определена на произведении топологич. пространств X и Y, х ∈ Х, y ∈ Y, а значения f(x, у) также принадлежат нек-рому топологич. пространству.

Л. Д. Кудрявцев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.