НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

ДВОЙНОЙ ПРЕДЕЛ

ДВОЙНОЙ ПРЕДЕЛ - 1) Д. п. последовательности, предел двойной последовательности {хmn}, m, n = 1, 2, ..., - число а, определяемое следующим образом: для любого ε > 0 существует такое Nε, что для всех m > Nε и n > Nε выполняется неравенство

|xmn - a| < ε.

Обозначение:

а = limm,n → ∞ xmn. Если для любого ε > 0 существует такое Nε, что для всех m > Nε и n > Nε выполняется неравенство |xmn| > ε, то последовательность хmn имеет своим пределом бесконечность:

limm,n → ∞ хmn = ∞. Аналогично определяются бесконечные пределы

limm,n → ∞ xmn = +∞ и limm,n → ∞ xmn = -∞. Д. п. последовательности является частным случаем Д. п. функции по множеству, а именно в случае, когда это множество состоит из точек плоскости с целочисленными координатами m и n. Поэтому между Д. п. последовательности и ее повторными пределами существует та же связь, что и в общем случае.

2) Д. п. функции - предел функции двух переменных, определяемый следующим образом. Пусть функция f(x, у) определена на множестве Е, расположенном в плоскости XOY, а (х0, у0) - его предельная точка. Число А наз. Д. п. функции f{x, у) в точке (х0, у0), или при (х, у) → (х0, y0), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех точек (х, у) ∈ Е, координаты к-рых удовлетворяют неравенствам

0 < |x - x0| < δ, 0 < |у - у0| < δ,

выполняется неравенство

|f(x, у) - А| < ε.

В этом случае пишут

lim(x,y)→(x0,y0) f(х, у) = А. Используя понятие предела последовательности, определение Д. п. функции можно сформулировать следующим образом:

А = lim(x,y)→(x0,y0) f(х, у),

если для любой последовательности

(xn, yn) → (x0,y0), (x0,y0) ≠ (xn,yn) ∈ Е, n = 1, 2, ...,

выполняется условие

limn→∞ f(xn, уn) = А.

Аналогично формулируются определения Д. п. функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также определения бесконечных Д. п. функции.

Существует связь между Д. п. функции и повторным пределом функции в точке (x0, у0) или в ∞: пусть х0 и у0 - предельные точки (конечные или бесконечные) для числовых множеств X и Y, Е = X × Y. Если существует конечный или бесконечный Д. п. функции

lim(x,y)→(x0,y0) f(х, у)

н при любом у ∈ Y существует конечный предел

φ{y) = limx→x0 f(x, у), то существует и повторный предел

limy→y0 limx→x0 f(х, у) = limy→y0 φ(у),

и он равен Д. п. функции.

Используя понятие окрестности, определению Д. п. функции можно придать следующий вид: пусть а - предельная точка (x0, у0) множества Е или символ ∞, причем в последнем случае множество Е неограничено, А - число или один из символов ∞, +∞ , -∞, тогда

А = lim(x,y)→(x0,y0) f(x, у),

если для любой окрестности ОA точки или символа А существует такая окрестность Оa числа или символа а, что для всех (x, у) ∈ Е ∩ Оa, (x, у) ≠ а, выполняется условие f(ж, у) ∈ ОA. В этом виде определение Д. п. функции переносится на случай, когда функция f определена на произведении топологич. пространств X и Y, х ∈ Х, y ∈ Y, а значения f(x, у) также принадлежат нек-рому топологич. пространству.

Л. Д. Кудрявцев.


Источники:

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru