ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ

ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ, сложное (или ангармоническое) отношение, четырех точек М₁, М₂, М₃, М₄ на прямой - число, обозначаемое символом (M₁M₂M₃M₄) и равное

М₁М₃/М₃М₂ : М₁М₄/М₄М₂.

При этом отношение М₁М₃/М₃М₂ считается положительным, если направления отрезков М₁М₃ и М₃М₂ совпадают, и - отрицательным при различных направлениях. Д. о. зависит от порядка нумерации точек, к-рый может отличаться от порядка следования точек на прямой. Наряду с Д. о. четырех точек, рассматривается Д. о. четырех прямых m₁, m₂, m₃, m₄, проходящих через точку. Это отношение обозначается символом (m₁m₂m₃m₄). Оно равно

sin(m₁m₃)/sin(m₃m₂) : sin(m₁m₄)/sin(m₄m₂),

причем угол (m_im_j) между прямыми m_i и m_j рассматривается со знаком.

Если точки М₁, М₂, М₃, М₄ лежат на прямых m₁, m₂, m₃, m₄, то

(M₁M₂M₃M₄) = (m₁m₂m₃m₄).

Если точки М₁, М₂, М₃, М₄ и М'₁, М'₂, М'₃, М'₄, получены пересечением одной четверки прямых m₁, m₂, m₃, m₄, то (М₁, М₂М₃М₄)= {M'₁М'₂М'₃M'₄).

Д. о. является инвариантом проективных преобразований. Д. о., равное -1, наз. гармоническим отношением (см. Гармоническая четверка точек). Э. Г. Позняк.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.