ДВОЙНАЯ ПЛОСКОСТЬ

ДВОЙНАЯ ПЛОСКОСТЬ - алгебраическая поверхность, представляющая собой двумерный аналог гиперэллиптической кривой. Неособая алгебраическая проективная поверхность X над алгебраически замкнутым полем k наз. двойной плоскостью, если ее поле рациональных функций k(Х) является квадратичным расширением поля рациональных функций от двух переменных. Если характеристика поля отлична от 2 (в дальнейшем это условие предполагается выполненным), то каждая Д. п. бирационально изоморфна аффинной поверхности, задаваемой в трехмерном аффинном пространстве уравнением

z² + F(x, у) = 0.

Иногда именно поверхности такого типа наз. Д. п. Для каждой Д. п. X существует морфизм f в проективную плоскость Р²(k), разлагающийся в композицию бирационального морфизма

φ: Х → Х'

на некоторую нормальную поверхность X' и конечного морфизма степени два

φ': X' → Р²(k).

Кривая ветвления W морфизма φ' наз. кривой ветвления Д. п. (и определяется, вообще говоря, не однозначно по X). Кривая ветвления Д. п. играет основную роль в их изучении. Напр., по ней вычисляются численные инварианты Д. п. Если W неприводима, то иррегулярность Д. п. X равна нулю. Если степень W (всегда четная) равна 2k и все особенности W только двойные обыкновенные или каспидальные (см. Особая точка алгебраической кривой), то арифметич. род p_a(Х) и эйлерова характеристика χ(X) (топологическая или l-адическая) вычисляются по формулам:

p_a(Х) = (k-1)(k-2)/2 , χ(Х) = 4k² - 6k + 6.

В общем случае существует бирациональный морфизм F → P²(k) такой, что проекция на F нормализации X расслоенного произведения X и F над Р²(k) на F является конечным накрытием степени 2 с неособой (быть может, приводимой) кривой ветвления W. В этом случае имеют место формулы:

p_a(X) = p_a(X̅) = 1 - χ(W̅)/4 - (W̅)²/8, χ(X̅) = 2χ(F) - χ(W̅).

Для любой кривой W четной степени на проективной плоскости всегда существует Д. п., имеющая W в качестве своей кривой ветвления. Выбор подходящей кривой W позволяет во многих случаях решать задачу построения алгебраич. поверхности с заданными инвариантами (см. [1], [3]).

Классификация Д. п. проводится отдельно в каждом классе алгебраич. поверхностей. Описаны [5] рациональные и линейчатые Д. п.; перечислены [3] Д. п., являющиеся эллиптическими поверхностями или К3-поверхностями. Рассмотрено (см. [3], [4]) много примеров Д. п. основного типа.

Лит.: [1] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 77-170; [2] Zariski O., Algebraic surfaces, В., 1971; [3] Enriques F., Le superficie algebriche, Bologna, 1949; [4] Campedelli L., «Atti Accad. naz. Lincei Rend.», ser. 6, 1932, v. 15, p. 203-8, 358-62, 536-42; [5] Jung H. W.E., «J. reine und angew. Math.», 1942, Bd 184, № 4, S. 199-237.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.