ДВИЖЕНИЙ ГРУППА

ДВИЖЕНИЙ ГРУППА - непрерывная группа преобразований пространства, элементами к-рой являются движения этого пространства, а групповой операцией - последовательное выполнение в указанном порядке двух движений. В широком смысле, любая группа непрерывных преобразований пространства может быть сделана Д. г. этого пространства. А именно, введение для заданной группы понятия равенства фигур приводит к нек-рой новой геометрии, в к-рой эта группа служит Д. г. (см. Эрлангенская программа).

Д. г. наз. транзитивной Д. г., если для любых двух точек пространства можно указать в данной группе движение, к-рое переводит одну точку в другую, и интранзитивной Д. г., если существуют пары точек, для к-рых такого движения указать нельзя.

Пространство, в к-ром можно ввести заданную Д. г., наз. пространством, допускающим эту Д. г. Если Д. г. пространства имеет максимальный порядок, то она наз. полной Д. г. Напр., полная транзитивная Д. г. n-мерного евклидова пространства есть группа порядка n(n + 1)/2, т. е. группа, зависящая от n(n + 1)/2 параметров. В частном случае евклидовой плоскости в качестве параметров полной Д. г. можно взять координаты точки, в к-рую переходит начало координат, и угол поворота, т. е. эта Д. г. - трехпараметрическая. Д. г. G евклидовой плоскости есть некоммутативная разрешимая группа. Ее подгруппа вращений Н коммутативна и интранзитивна, а подгруппа N параллельных переносов коммутативна и транзитивна и является нормальным делителем Д. г. Пересечение этих двух подгрупп - единица Д. г. Факторгруппа G/N изоморфна Н, коммутант Д. г. G содержится в N. В качестве параметров полной Д. г. трехмерного евклидова пространства можно взять координаты точки О(а, b, с), в к-рую переходит начало, и эйлеровы углы, т. е. эта Д. г. - шестипараметрическая.

Исследования по Д. г. в обобщенных дифференциально-геометрич. пространствах ведутся одновременно по нескольким направлениям, важнейшими из к-рых являются следующие.

1) Направление теоретико-группового характера [3]. Это - построение в пространстве, в к-ром действует группа преобразований, инвариантной метрики или связности.

2) Изучение Д. г. в заданных пространствах, т. е. групп, к-рые допускает пространство с заданной метрикой или связностью (см. [1], [2]).

3) Направление, пограничное с первыми двумя и состоящее в изучении лакун и лакунарных пространств, т. е. либо построение пространств, допускающих полную Д. г. заданного порядка, либо доказательство несуществования пространств определенного типа, допускающих ту или иную заданную Д. г.

Напр., n-мерное аффинное пространство допускает Д. г. максимального порядка r = n² + n. Порядки Д. г. других пространств аффинной связности принадлежат отрезку натурального ряда [1, n² + n], но не каждое число из этого отрезка может быть порядком полной Д. г.

Интервалы наибольшей длины, составленные из чисел, не являющихся порядками полных Д. г., наз. лакунами, а дополнения к ним до указанного отрезка натурального ряда - отрезками конденсации. Пространство наз. пространством k-й лакунарности, если порядок его полной Д. г. принадлежит отрезку конденсации, имеющему номер k. Основная проблема состоит в распределении лакун и отрезков конденсации возможных порядков полных Д. г., определении для последних самих Д. г. и соответствующих им лакунарных пространств. Этот вопрос тесно связан с исследованием степеней подвижности твердых тел.

Полную Д. г. порядка n(n + 1)/2 допускает лишь риманово пространство постоянной кривизны. Во всяком другом случае Д. г. пространства имеет меньшее число параметров. Многообразие аффинной связности допускает полную Д. г. (порядка n(n + 1)) тогда и только тогда, когда связность симметрична, а кривизна равна нулю; при этом Д. г. является общей линейной группой.

Лит.: [1] Егоров И. П., в кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 375-428; [2] его же, Движения в пространствах аффинной связности, Казань, 1965; [3] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967.

И. П. Егоров.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.