ДАРБУ УРАВНЕНИЕ

ДАРБУ УРАВНЕНИЕ - 1) Д. у.- обыкновенное дифференциальное уравнение

dy/dx = (P(x, y) + yR(x, y)) / (Q(x, y) + xR(x, y)),

где Р, Q, R - целые многочлены относительно х и у. Это уравнение впервые исследовал Г. Дарбу [1]. Частный случай Д. у.- Якоби уравнение. Пусть n - высшая степень многочленов Р, Q, R; если Д. у. имеет s известных частных алгебраических решений, то при

s ≥ ¹/₂ n(n + 1) + 2 его общее решение отыскивается без

квадратур, а при s = ¹/₂ n(n + 1) + 1 можно найти интегрирующий множитель (см. [2]). Если Р и Q - однородные функции степени m, a R - однородная функция степени k, то при k = m - 1 Д. у. является однородным дифференциальным уравнением, а при k ≠ m - 1 подстановкой y = zx Д. у. приводится к Бернулли уравнению.

Лит.: [1] Darboux G., «Bull. sci. math.», 1878, t. 2, p. 66-96; [2] Айнс Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., Хар., 1939.

Н. X. Розов.

2) Д. у.- гиперболическое уравнение

u_tt - Δu + λ(t, x)/t u_t = 0, t ≠ 0,

где λ(t, х) - неотрицательная, непрерывно дифференцируемая функция, х = (х₁, х₂, ..., х_n). Для решений Д. у., как и для решений волнового уравнения, справедлива следующая теорема единственности. Если какое-нибудь дважды непрерывно дифференцируемое решение u(х, t) Д. у. обращается вместе со своей производной по t в нуль на основании, лежащем в плоскости t = 0, характеристич. конуса, то оно равно нулю внутри всей области, ограниченной этим конусом. Характеристич. конус имеет тот же вид, что и для волнового уравнения.

При λ(t, х) = n - 1 > 0 решением Д. у., удовлетворяющим начальным условиям

u(t, х) |_t=0 = φ(х),

u_t(t, x) |_t=0 = 0

с дважды непрерывно дифференцируемой функцией φ(х), является функция

u(x, t) = Г(n/2)/2π^n/2t^n-1 ⋅ ∫_|x-y|=tφ(y) dS_y,

где Г(z) - гамма-функция. Это решение Д. у. и решение v(х, t) волнового уравнения, удовлетворяющее условиям

v(t, x) |_t=0 = φ(х), v_t(t, х) |_t=0 = 0, связаны соотношением

Д. у. названо по имени Г. Дарбу (G. Darboux).

Лит.: [1] Ион Ф., Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, пер. с англ., М., 1958.

А. К. Гущин.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.