ДАНИЕЛЯ ИНТЕГРАЛ

ДАНИЕЛЯ ИНТЕГРАЛ - расширение понятия интеграла, предложенное П. Даниелем [1]. Схема построения этого интеграла наз. схемой Даниеля, представляет собой продолжение на более широкий класс функций интеграла, определенного первоначально для нек-рой совокупности функций, называемых элементарными функциями. При сохранении способа продолжения изменение объема исходной совокупности элементарных функций приводит к разным расширениям понятия интеграла. В этой схеме аксиоматизируется понятие элементарного интеграла, в отличие от схемы Лебега (см. Лебега интеграл), аксиоматизирующей понятие меры.

Пусть X - произвольное множество и L₀ - некоторая совокупность определенных на X действительных ограниченных функций; эти функции наз. элементарными. Предполагается, что L₀ - векторная решетка, т. е. из f,g ∈ L₀ и α, β ∈ ℝ ⇒ αf + βg ∈ L₀,

f, g ∈ L₀ ⇒ sup (f, g) и inf(f,g) ∈ L₀.

Пусть на L₀ определен функционал I(f), принимающий действительные значения и такой, что

I(αf + βg) = α(f) + α(g) (дистрибутивность);

f(х) ≥ 0 ⇒ I(f) ≥ 0 (неотрицательность);

если f_n(x) ↓ 0 для любого х, то I(f_n) → 0 (непрерывность относительно монотонной сходимости).

Такой функционал наз. интегралом от элементарных функций, или элементарным интегралом. Множество М ⊂ Х наз. множеством меры нуль, если для любого ε > 0 найдется такая неубывающая последовательность {g_n} ⊂ L₀, что sup_n g_n(x) ≥ χ_M(x), где χ_M(x) - характеристич. функция множества М:

sup I(g_n) ≤ ε. Функция f(x), определенная на X, принадлежит классу L⁺, если существует такая последовательность {f_n} ⊂ L₀, что f_n(x) ↑ f(x) почти всюду и I(f_n) ≤ с < +∞. Число

I(f) = lim_n I(f_n)

наз. интегралом от f. Интеграл I(f) не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности {f_n}.

Классом L наз. совокупность функций f, определенных на X и представимых в виде f = f₁ - f₂, где f₁, f₂ ∈ L⁺. Функции класса L наз. суммируемыми, а число

I(f) = I(f₁) - I(f₂)

- интегралом Даниеля от функции f.

Класс L с точностью до множества меры нуль является векторной решеткой конечных функций, замкнутой относительно сходимости почти всюду с ограниченными интегралами, и Д. и. от суммируемых функций обладает свойствами дистрибутивности, неотрицательности, непрерывности (относительно сходимости почти всюду), мажорированной суммируемой функцией (теорема Лебега о переходе к пределу под знаком интеграла), а также рядом других естественных свойств интеграла.

В том случае, когда Х = [а, b] и L₀ есть совокупность ступенчатых функций

Д. и. совпадает с интегралом Лебега от функций, суммируемых на [а, b]. Схема Даниеля применима для построения интеграла от функций со значениями в σ-полной решетке.

Лит.: [1] Daniеll P., «Аnn. Math.», 1917, v. 19, p. 279-94; [2] Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л., Интеграл, мера и производная, 2 изд., М., 1967; [3] Люмис Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956.

В. И. Соболев.

Источники:

1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.